为什么用对数收益率，而不是算数收益率 --因为可加性

核心就是对于单一投资品的收益率，对数收益率时序可加；对于不同投资品的截面收益率，应该用百分比收益率，因为它在截面上有可加性；另外对数收益率对建模有帮助。

如果我们考察单一投资品在总共 T 期内的表现，那应该用对数收益率，而非算数收益率。算术平均值不能正确的反应一个投资品的收益率。比如一个投资品今年涨了 50%，明年跌了 50%，它的算数平均收益率为 0；但事实上，两年后该投资品亏损了最初资金的 25%。相反的，对数收益率由于具备可加性，它的均值可以正确反映出该投资品的真实收益率。比如这两年的对数收益率分别为 40.5% 和 -69.3%，平均值为 -28.77%，转换为百分比亏损就是 exp{-28.77%} - 1 = -25%。

对数收益率的时序可加性让我们能够使用另外两个利器：“中心极限定理”和“大数定律”。假设初始资金 X_0（假设等于 1），ln(X_T) = ln(X_T/X_0) 就是整个 T 期的对数收益率。对数收益率的最大好处是它的可加性，把单期的对数收益率相加就得到整体的对数收益率。

ln⁡[XTX0]=ln⁡[X1X0×X2X1×⋯×XTXT−1]=ln⁡[X1X0]+ln⁡[X2X1]+⋯+ln⁡[XTXT−1]\begin{array}{rll} \ln\left[\frac{X_T}{X_0}\right]&=&\ln\left[\frac{X_1}{X_0}\times\frac{X_2}{X_1}\times\cdots\times\frac{X_{T}}{X_{T-1}}\right]\\ &=&\ln\left[\frac{X_1}{X_0}\right]+\ln\left[\frac{X_2}{X_1}\right]+\cdots+\ln\left[\frac{X_T}{X_{T-1}}\right] \end{array}

如果能假设不同期是相互独立的，T 期对数收益率相加相当于 T 个独立的随机变量相加。由中心极限定理可知，它们的和逼近正态分布。由大数定律可知，(1/T) × ln(X_T/X_0) ，即单期对数收益率均值，随着 T 的增大一定会收敛于它的期望；对于给定的 T，T 期的总收益会收敛于 E[ln(X_T/X_0)]。

我们以初始资金 X_0 跑一个策略进行投资，最终是想让给定 T 期之后的 X_T 越大越好，但我们不知道 X_T 最终会收敛到什么值。但上面的分析说明只要 T 足够大，大数定律保证了 X_T 的对数，即 ln(X_T)，一定会非常接近它的期望 E[ln(X_T)]，这就是用对数收益率的价值。

这个问题也可以对改进这个策略或者挑选投资品有启发 —— 我们就是要尽可能的最大化 E[ln(X_T)]。顺便说一句，这就是凯利公式干的事儿，所以业界有用凯利公式计算一个策略的最优杠杆率。更多的请见凯利公式，从赌场到量化投资

对于多个投资品单期收益率的截面可加性，应该用百分比收益率。假设在期初我们把资金按照 m1m_1 和 m2m_2 分配到两个投资品上，这两个投资品在当期的百分比收益率为 r1r_1 和 r2r_2 。因此，我们期末的金额为 m1(1+r1)+m2(1+r2)m_1(1+r_1)+m_2(1+r_2) ，我们组合的百分比收益率为

r=m1(1+r1)+m2(1+r2)m1+m2−1=m1r1m1+m2+m2r2m1+m2+m1+m2m1+m2−1=m1m1+m2r1+m2m1+m2r2\begin{array}{rll} r&=&\displaystyle\frac{m_1(1+r_1)+m_2(1+r_2)}{m_1+m_2}-1\\ &=&\displaystyle \frac{m_1r_1}{m_1+m_2}+\frac{m_2r_2}{m_1+m_2}+\frac{m_1+m_2}{m_1+m_2}-1\\ &=&\displaystyle\frac{m_1}{m_1+m_2}r_1+\frac{m_2}{m_1+m_2}r_2 \end{array}

可见，组合的当期百分比收益率就是这两个投资品百分比收益率按资金量的加权平均。

最后，一般我们用几何布朗运动对股票价格 S 建模：

dS=μSdt+σSdBdS=\mu Sdt+\sigma SdB

上式中 μ 是单期百分比收益率期望，σ 是收益率的标准差。使用伊藤引理可以求出对数价格 lnS 的 SDE（具体见布朗运动、伊藤引理、BS 公式（后篇））：

d(ln⁡S)=df=(μ−σ22)dt+σdBd(\ln S)=df=\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)dt+\sigma dB

这个式子说明，lnS 是一个带漂移的布朗运动，它的漂移率为 μ – 0.5σ^2，波动率为 σ。由布朗运动的性质可知，在任何时间 T，lnS 的变化符合正态分布：

ln⁡S(T)∼Φ[ln⁡S(0)+(μ−σ22)T,σ2T]\ln S(T)\sim\Phi\left[\ln S(0)+\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)T,\sigma^2T\right]

如果一个随机变量的对数满足正态分布，我们说这个随机变量本身满足对数正态分布（lognormal distribution）。因此，当我们用几何布朗运动来描述股价波动时，得到的股价满足对数正态分布。通过对 lnS 的 SDE 两边积分，再对等式两边取指数，便可写出股价随时间变化的解析式：

S(T)=S(0)exp⁡((μ−σ22)T+σB(T))S(T)=S(0)\exp\left(\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)T+\sigma B(T)\right)

上式乍一看好像有悖于我们的直觉。我们已知单期收益率期望为 μ\mu 。但在上式中，抛开 B(T) 带来的随机性不谈而仅看时间 T 的系数，股价单期的增长速率是 μ−0.5×σ2\mu-0.5\times\sigma^2 而不是 μ\mu。 μ−0.5×σ2\mu-0.5\times\sigma^2是单期对数收益率均值（logarithmic rate of return）。比较简单收益率 μ\mu 和对数收益率 μ−0.5×σ2\mu-0.5\times\sigma^2 ，后者考虑了对 σ\sigma 的惩罚。

对数收益率是两个时期资产价值取对数后的差额，即资产多个时期的对数收益率等于其各时期对数收益率之和。

衡量股票投资收益的水平指标主要有股利收益率与持有期收益率和拆股后持有期收益率等。

1、股利收益率

股利收益率，又称获利率，是指股份公司以现金形式派发的股息或红利与股票市场价格的比率其计算公式为：

该收益率可用计算已得的股利收益率，也能用于预测未来可能的股利收益率。

2、持有期收益率

持有期收益率指投资者持有股票期间的股息收入和买卖差价之和与股票买入价的比率。其计算公式为：

股票还没有到期日的，投资者持有股票时间短则几天、长则为数年，持有期收益率就是反映投资者在一定持有期中的全部股利收入以及资本利得占投资本金的比重。

持有期收益率是投资者最关心的指标之一，但如果要将其与债券收益率、银行利率等其他金融资产的收益率作一比较，须注意时间可比性，即要将持有期收益率转化成年率。

3、持有期回收率

持有期回收率说的是投资者持有股票期间的现金股利收入和股票卖出价之和与股票买入价比率。本指标主要反映其投资回收情况，如果投资者买入股票后股价下跌或操作不当。

均有可能出现股票卖出价低于其买入价，甚至出现了持有期收益率为负值的情况，此时，持有期回收率能作为持有期收益率的补充指标，计算投资本金的回收比率。其计算公式为：

4、拆股后的持有期收益率

投资者在买入股票后，在该股份公司发放股票股利或进行股票分割（即拆股）的情况下，股票的市场的市场价格及其投资者持股数量都会发生变化。

因此，有必要在拆股后对股票价格及其股票数量作相应调整，以计算拆股后的持有期收益率。其计算公式为：(收盘价格-开盘价格)/开盘价格股票收益率的计算公式股票收益率= 收益额 /原始投资额　其中：收益额=收回投资额+全部股利-(原始投资额+全部佣金+税款)

当股票未出卖时，收益额即为股利。

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