蒙特卡罗（Monte Carlo）方法计算圆周率π

一、蒙特卡洛（Monte Carlo）方法简介

蒙特卡洛是一个地名，位于赌城摩纳哥，象征概率。蒙特卡洛（Monte Carlo）方法是由大名鼎鼎的数学家冯·诺伊曼提出的，诞生于上世纪40年代美国的“曼哈顿计划”。原理是通过大量随机样本，去了解一个系统，进而得到所要计算的值。

二、计算圆周率π的原理

一个正方形内部相切一个圆，圆和正方形的面积之比是π/4。

在这个正方形内部，随机产生n个点（这些点服从均匀分布），计算它们与中心点的距离是否大于圆的半径，以此判断是否落在圆的内部。统计圆内的点数，与n的比值乘以4，就是π的值。理论上，n越大，计算的π值越准。

三、matlab仿真试验

matlab代码：
monte_carlo_method.m

%% Monte Carlo方法计算π
%正方形内部有一个相切的圆，它们的面积之比是π/4
clc,clear
r=1;
center_x=1;
center_y=1;
num=100000;%随机样本数
fprintf('开始Monte Carlo方法计算圆周率π,随机样本数为%d...\n',num);
s=rng;
rng(s);
sample_point=2*rand(2,num);
total_in=0;
for i=1:numdistance=sqrt((sample_point(1,i)-1)^2+(sample_point(2,i)-1)^2);if distance<1total_in=total_in+1;end
end
my_pi=total_in/num*4;
fprintf('result:\nπ=%.4f\n',my_pi);
error=abs((pi-my_pi)/pi);
fprintf('误差：%.4f\n',error);
fprintf('完成!\n');%% 绘图
fprintf('开始绘图...');
figure
scatter(sample_point(1,:),sample_point(2,:),'bo');hold on
circle(1,[1,1]);
title('Monte Carlo方法计算圆周率π'),xlabel('x'),ylabel('y')
axis([0,2,0,2])
fprintf('完成!\n');

circle.m

function circle(R,Center)
alpha=0:pi/50:2*pi;%角度[0,2*pi]
% R=2;%半径
% Center=[1,1];%圆心
x=R*cos(alpha)+Center(1);
y=R*sin(alpha)+Center(2);
plot(x,y,'g-','LineWidth',2)
end

试验结果：

随机样本数为10000

运行结果：
π=3.1148
误差：0.0085
随机样本数为100000

运行结果：
π=3.1468
误差：0.0017

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