蒙特卡罗(Monte Carlo)方法

蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，也称为计算机随机模拟方法，是一种基于"随机数"的计算方法。

一起源

这一方法源于美国在第二次世界大战进研制原子弹的"曼哈顿计划"。Monte Carlo方法创始人主要是这四位：Stanislaw Marcin Ulam, Enrico Fermi, John von Neumann（学计算机的肯定都认识这个牛人吧）和 Nicholas Metropolis。

Stanislaw Marcin Ulam是波兰裔美籍数学家，早年是研究拓扑的，后因参与曼哈顿工程，兴趣遂转向应用数学，他首先提出用Monte Carlo方法解决计算数学中的一些问题，然后又将其应用到解决链式反应的理论中去，可以说是MC方法的奠基人；Enrico Fermi是个物理大牛，理论和实验同时都是大牛，这在物理界很少见，在“物理大牛的八卦”那篇文章里提到这个人很多次，对于这么牛的人只能是英年早逝了（别说我嘴损啊，上帝都嫉妒！）；John von Neumann可以说是计算机界的牛顿吧，太牛了，结果和Fermi一样，被上帝嫉妒了；Nicholas Metropolis，希腊裔美籍数学家，物理学家，计算机科学家，这个人对Monte Carlo方法做的贡献相当大，正式由于他提出的一种什么算法（名字忘了），才使得Monte Carlo方法能够得到如此广泛的应用，这人现在还活着，与前几位牛人不同，Metropolis很专一，他一生主要的贡献就是Monte Carlo方法。

蒙特卡罗方法的名字来源于摩纳哥的一个城市蒙地卡罗，该城市以赌博业闻名，而蒙特·罗方法正是以概率为基础的方法。与它对应的是确定性算法。

二解决问题的基本思路

Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。早在17世纪，人们就知道用事件发生的"频率"来决定事件的"概率"。19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率π。本世纪40年代电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。

为了说明Monte Carlo方法的基本思想，让我们先来看一个简单的例子，从此例中你可以感受如何用Monte Carlo方法考虑问题。

例1:比如y=x^2(对x)从0积到1。结果就是下图红色部分的面积：

注意到函数在(1,1)点的取值为1，所以整个红色区域在一个面积为1的正方形里面。所以所求区域的面积即为在正方形区域内任取点，点落在所求区域的概率。这个限制条件是y<x^2。用matlab模拟，做一百万次(即共取1000000个点)，结果为0.3328。

1）总结Monte Carlo方法的基本思想：所求解问题是某随机事件A出现的概率（或者是某随机变量B的期望值）。通过某种“实验”的方法，得出A事件出现的频率，以此估计出A事件出现的概率（或者得到随机变量B的某些数字特征，得出B的期望值）。
　　
2）工作过程

　　
　　在解决实际问题的时候应用蒙特卡罗方法主要有两部分工作：
　　用蒙特卡罗方法模拟某一过程时，需要产生各种概率分布的随机变量。
　　用统计方法把模型的数字特征估计出来，从而得到实际问题的数值解。

　　
3）蒙特卡罗解题三个主要步骤：

　　
　　 （1）构造或描述概率过程：对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。
　　 （2）实现从已知概率分布抽样：构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是(0,1)上的均匀分布（或称矩形分布）。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。由已知分布随机抽样有各种方法，与从(0,1)上均匀分布抽样不同，这些方法都是借助于随机序列来实现的，也就是说，都是以产生随机数为前提的。由此可见，随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。建立各种估计量：一般说来，构造了概率模型并能从中抽样后，即实现模拟实验后，我们就要确定一个随机变量，作为所要求的问题的解，我们称它为无偏估计。
　　 （3）建立各种估计量，相当于对模拟实验的结果进行考察和登记，从中得到问题的解。例如：检验产品的正品率问题，我们可以用1表示正品，0表示次品，于是对每个产品检验可以定义如下的随机变数Ti，作为正品率的估计量：于是，在N次实验后，正品个数为：显然，正品率p为：不难看出，Ti为无偏估计。当然，还可以引入其它类型的估计，如最大似然估计，渐进有偏估计等。但是，在蒙特卡罗计算中，使用最多的是无偏估计。用比较抽象的概率语言描述蒙特卡罗方法解题的手续如下：构造一个概率空间(W ,A,P)，其中，W 是一个事件集合，A是集合W 的子集的s 体，P是在A上建立的某个概率测度；在这个概率空间中，选取一个随机变量q (w ),w Î W ,使得这个随机变量的期望值正好是所要求的解Q ，然后用q (w )的简单子样的算术平均值作为Q 的近似值。
　　
三本方法特点

　　
　　直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
　　· 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
　　· 不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
　　· MC程序结构清晰简单。
　　· 研究人员采用MC方法编写程序来解决粒子输运问题，比较容易得到自己想得到的任意中间结果，应用灵活性强。
　　· MC方法主要弱点是收敛速度较慢和误差的概率性质，其概率误差正比于，如果单纯以增大抽样粒子个数N来减小误差，就要增加很大的计算量。

另一类形式与Monte Carlo方法相似，但理论基础不同的方法-"拟蒙特卡罗方法"(Quasi-Monte Carlo方法)-近年来也获得迅速发展。我国数学家华罗庚、王元提出的"华-王"方法即是其中的一例。这种方法的基本思想是"用确定性的超均匀分布序列(数学上称为Low Discrepancy Sequences)代替Monte Carlo方法中的随机数序列。对某些问题该方法的实际速度一般可比Monte Carlo方法提出高数百倍，并可计算精确度。

蒙特卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算)等领域应用广泛。
　　
四 Monte Carlo方法的计算程序

　　
　　关于蒙特卡罗方法的计算程序已经有很多，如：EGS4、FLUKA、ETRAN、ITS、MCNP、GEANT等。这些程序大多经过了多年的发展，花费了几百人年的工作量。除欧洲核子研究中心（CERN）发行的GEANT主要用于高能物理探测器响应和粒子径迹的模拟外，其它程序都深入到低能领域，并被广泛应用。就电子和光子输运的模拟而言，这些程序可被分为两个系列：
　　1．EGS4、FLUKA、GRANT
　　2．ETRAN、ITS、MCNP 这两个系列的区别在于：对于电子输运过程的模拟根据不同的理论采用了不同的算法。
　　EGS4和ETRAN分别为两个系列的基础，其它程序都采用了它们的核心算法。
　　ETRAN(for Electron Transport)由美国国家标准局辐射研究中心开发，主要模拟光子和电子，能量范围可从1KeV到1GeV。
　　ITS(The integrated TIGER Series of Coupled Electron/Photon Monte Carlo Transport Codes )是由美国圣地亚哥（Sandia）国家实验室在ETRAN的基础上开发的一系列模拟计算程序，包括TIGER 、CYLTRAN 、ACCEPT等，它们的主要差别在于几何模型的不同。
　　TIGER研究的是一维多层的问题，CYLTRAN研究的是粒子在圆柱形介质中的输运问题，ACCEPT是解决粒子在三维空间输运的通用程序。
　　NCNP(Monte Carlo Neutron and Photo Transport Code)由美国橡树林国家实验室(Oak Ridge National Laboratory)开发的一套模拟中子、光子和电子在物质中输运过程的通用MC 计算程序，在它早期的版本中并不包含对电子输运过程的模拟，只模拟中子和光子，较新的版本（如MCNP4A）则引进了ETRAN，加入了对电子的模拟。
　　FLUKA 是一个可以模拟包括中子、电子、光子和质子等30余种粒子的大型MC计算程序，它把EGS4容纳进来以完成对光子和电子输运过程的模拟，并且对低能电子的输运算法进行了改进。

五 Monte Carlo方法相关的一些资料

一个网站：http://csep1.phy.ornl.gov/mc/mc.html
    《蒙特卡罗方法》徐钟济著上海科学技术出版社
    《科学计算中的蒙特卡罗策略》(当代科学前沿论丛)(Monte Carlo Strategies in Scientific Computing) 作者:刘军译者:唐年胜周勇徐亮
     统计物理学中的蒙特卡罗模拟方法 ( 德) 宾德(Binder,K.),赫尔曼(Heermann,D.W.) 著北京大学出版社 1994.2
     小尺寸半导体器件的蒙特卡罗模拟叶良修编著科学出版社 1997.2
     蒙特卡罗方法及其在粒子输运问题中的应用裴鹿成, 张孝泽著科学出版社 1980.10
     统计试验法:( 蒙特卡罗法) 及其在电子数字计算机上的实现 (苏) 布斯连科( Н. П. Бусленко), (苏) 施上海科学技术出版社
     若干本书：人大经济论坛http://www.pinggu.org/bbs/thread-445802-1-1.html
     高分子科学中的Monte Carlo方法杨玉良复旦大学出版社 1993.12 7-309-01361-1
     Monte Carlo simulation of semiconductor devices C. Moglestue. Chapman & Hall， 1993. 041247770X
     Monte Carlo methods in statistical physics with contributions by K. Binder ... [et al.] ; edi Springer-Verlag, 1979.
     guide to Monte Carlo simulations in statistical physics David P. Landau, Kurt Binder. Cambridge University Press, c2000.
     Monte Carlo methods in statistical physics edited by K. Binder ; with contributions by K. Bin Springer-Verlag, c1986.
     Applications of the Monte Carlo method in statistical physics edited by K. Binder. Springer, 1984.
     Monte Carlo Device Simulation Karl Hess Kluwer Acadmic

参考资料：1、http://baike.baidu.com/view/1675475.htm?fr=ala0_1
                    2、http://baike.baidu.com/view/42460.htm?fr=ala0_1_1
                     3、http://gorilla.blogbus.com/logs/4669.html
                   4、http://blog.sina.com.cn/s/blog_5e8154170100cgc4.html
                     5、http://www.charlesgao.com/?p=121

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