什么是跳跃表。跳跃表的原理及其实现。

一.跳跃表的概述

二.跳跃表的定义

三.跳跃表的查找操作

四.跳跃表的插入操作

五.跳跃表的删除操作

六.补充

一.跳跃表的概述

话不多说，增加了向前指针的链表就叫作跳跃表。那么跳跃表和普通的单链表有什么区别呢？

我们知道，在单链表中查询一个元素的时间复杂度为O(n)，即使该单链表是有序的，我们也不能通过2分的方式缩减时间复杂度。例如，在下图中，我们要寻找值为6的节点，那么我们要经过6次对比。

而当我们使用跳跃表时，情况就大有不同。例如，在下图所示的跳跃表中，我们寻找值为6的节点，只需要进行4次对比。

从图中可以知道：

跳跃表是由一系列的结点构成，每一个结点都包含关键字域(key)和索引层级数组域(reference level)。
有一个key为负无穷(-inf)的头结点和一个key为正无穷(inf)或null的尾结点，它们的索引层数都相同且具有最大索引层数。
其余的结点为有序的普通数据结点，它们具有的索引层数是随机产生的。最大索引层数不超过头尾结点的最大索引层数，但最少必须拥有一层索引。当所有结点都只具有一层索引的时候，此时跳跃表就退化成了单链表。

这里简单说下这些数据结点的索引层数是如何随机确定的。首先，结点必须最少有一层索引，在此基础上抛掷一枚硬币，若出现正面，结点索引层数加1并继续抛掷，若出现反面，即刻停止，这时的索引层数即为最终的结点索引层数。用一句术语说就是：每一层结点出现在其上层的概率固定为p。而这里我们抛掷硬币只不过将p取值为0.5罢了。实际情况下，P取值0.5、0.25、1/e都可以取得不错的效果。

(当大量的新节点通过逐层比较，最终插入到原链表之后上层的索引节点会渐渐变得不够用。这时候需要从新节点当中选取一部分提到上一层当做索引。可是究竟应该提拔谁忽略谁呢？关于这一点，跳跃表的设计者采用了种有趣的办法：【抛硬币】也就是随机决定新节点是否提拔，每向上提拔一层的几率是50%。之所以采用这种方法，是因为跳跃表删除和添加的节
点是不可预测的，很难用一种有效的算法来保证跳表的索引分部始终均匀。随机抛硬币的方法虽然不能保证索引绝对均匀分布，却可以让大体趋于均匀。)

二.跳跃表的定义

现在我们知道，跳跃表是一个随机化的数据结构，实质就是一种可以进行二分查找的有序链表。跳跃表在原有的有序链表上面增加了多级索引，通过索引来实现快速查找。跳跃表不仅能提高搜索性能，同时也可以提高插入和删除操作的性能。

采用这种随机技术，跳跃中的搜索、插入、删除操作的时间均为O(logn)，然而，最坏情况下时间复杂性却变成O(n)。相比之下，在一个有序数组或链表中进行插入/删除操作的时间为O(n)，最坏情况下为O(n)。

空间复杂度为O(n)。

三.跳跃表的查找操作

在跳跃表中查找一个元素x，按照如下几个步骤进行：

1. 从最上层的链（Sh）的开头开始

2. 假设当前位置为p，它向右指向的节点为q（p与q不一定相邻），且q的值为y。将y与x作比较

(1) x=y 输出查询成功及相关信息

(2) x>y 从p向右移动到q的位置

(3) x<y 从p向下移动一格

3. 如果当前位置在最底层的链中（S0），且还要往下移动的话，则输出查询失败

一定注意，不是和当前元素比较，是和当前元素的下一元素比较。

四.跳跃表的插入操作

跳跃表的插入操作可以分解为以下三步：

首先查找到新数据在L1层的插入点。
使用随机化决策模块来决定新插入数据的索引列的高度x。
插入高度为x的列，并维护跳跃表的结构。

例如，现在我们要插入节点10

首先我们找到节点10在L1层中的插入位置，如下图所示，我们知道节点10应该插入到节点9后面

接着我们执行了随机化决策模块，得到新插入数据的索引列的高度为5。

最后我们插入高度为5的列，并维护跳跃表的结构。

五.跳跃表的删除操作

删除操作分为以下三个步骤：

在跳跃表中查找到这个元素的位置，如果未找到，则退出
将该元素所在整列从表中删除
将多余的“空链”删除

例如，我们现在要删除元素10，首先找到了这个元素的位置

接着将元素10所在整列从表中删除，并且此时最高层L5变成了空链。

最后，将多余的“空链”删除

六.补充

上面实现的跳跃表：

可以插入重复key，并且先插入的key更靠近头结点。
删除key结点的时候会把具有该key值的所有结点删掉。
若待查找的key有多个的时候，查找返回的结果是具有最高索引层数的key，若最高索引层数也相同，则返回更靠近头结点的key。