谈一谈PAC学习理论
这个系列的博客, 我将整理一下关于PAC 学习理论的知识。目的是用相对数学的角度,对PAC 理论的数学给出框架,再从通俗易懂的角度,给与相对直白的理解。
机器学习作为一个当下十分火热的话题,引来了无数学者的广泛研究。甚至高中已经开设了人工智能课啦。那么PAC 学习理论,也叫计算学习理论,解决了一个什么样的问题呢?
当你训练一个算法的时候,是否有时候问问自己以下几个问题呢?
譬如,这个学习算法最后可以收敛吗?有多大概率收敛呢?(把设计算法看作是买彩票的话,你有多大概率中奖呢?)
你需要多少样本呢?为什么需要这个数量的样本算法才能工作的很好呢?
下面,我们来一点点讨论下这个看似有些玄妙的问题。
我们先从 集中不等式 (Concentration inequality)说起。岔开话题显得很啰嗦,不过为了内容的完整性, 我们还是一步一步的来。
关于数学证明,只要是不太长的,我会在博文中直接给出,如果你被数学证明烦到了,就跳过证明直接来看结果。
集中不等式是数学中的一类不等式,描述了一个随机变量是否集中在某个取值附近。其实,这个概念对于只要熟悉本科概率论的朋友就不陌生, 因为本科的概率论里就有讲到过切比雪夫不等式。不过如果你还不熟悉,就按照我下面的引导来一步步看下去。我们实际要用到的是集中不等式中的Hoeffding 不等式,不过为了热热身,对集中不等式有点感觉, 我们先来两个简单的。
首先,介绍一个最简单的不等式,马尔科夫不等式。
马尔科夫不等式:对于一个非负随机变量ZZZ,P(Z≥t)≤E[Z]t" role="presentation" style="position: relative;">P(Z≥t)≤E[Z]tP(Z≥t)≤E[Z]tP(Z\geq t) \leq \frac{\mathbb{E}[Z]}{t}
证明:
\int_{0}^{\infty}P_Z(z)dz\leq\int_t^\infty\frac{z}{t}P_Z(z)dz\leq\int_0^\infty\frac{z}{t}P_Z(z)dz=\frac{\mathbb{E}[Z]}{t}
马尔科夫不等式告诉我们,对于一个非负的随机变量ZZZ,Z" role="presentation" style="position: relative;">ZZZ大于一个值的概率可以用这个值和这个随机变量的均值来度量。
现在回头想想,为什么我们要先从集中不等式说起呢?
想想,如果ZZZ是分类器分类的正确率,如果我们能得到这样一个集中不等式:
P(Z\geq \epsilon) \leq C
其中CCC是一个和Z,ϵ" role="presentation" style="position: relative;">Z,ϵZ,ϵZ,\epsilon有关的数,这样我们似乎就得到了一些关于分类器的正确率的信息。不过,这个过程比较曲折,我们一点点来。下面再来看一个不等式热热身。
切比雪夫不等式:
P(|Z- \mathbb{E}[Z]| \geq t)\leq \frac{Var(Z)}{t^2}
我们来证明一下这个不等式:(第一个小于等于由于两个数 a≥ba≥ba \geq b那么 a2≥b2a2≥b2a^2 \geq b^2,第二个小于等于由马尔科夫不等式得到)
P(Z \geq t) \leq P(Z^2 \geq t^2) \leq \frac{\mathbb{E}[Z^2]}{t^2}
把 ZZZ带成|Z−E[Z]|" role="presentation" style="position: relative;">|Z−E[Z]||Z−E[Z]||Z-\mathbb{E}[Z]|,化简得到切比雪夫不等式。
这两个不等式属于集中不等式中比较简单的,下面我们来看个复杂一点的不等式,
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