数学建模学习笔记——预测类型1

雨中漫步

预测的方法比较多，包含统计分析法，弹性系数法，灰色预测法，模糊数学法，神经网络法，优选组合法和小波分析法等等，下面让我来介绍一下

灰色预测模型(Grey Model,GM)

特点：模型使用的是生成的数据序列，而不是传统的原始数据序列，其核心是灰色模型，对原始数据进行方法生成得到近似指数规律在进行建模。
优点：不需要很多数据就可以解决历史数据少，序列的完整性和可靠性的问题；运算简单，利于检验；不考虑分布规律和趋势。
缺点：只适用于中短期的预测，不适用于非指数增长的预测

###GM(1,1)模型预测步骤
####(1)数据的检验与处理
对已知的数据列作一定检验处理。设参考数据为：$\left( x^{\left( 0 \right)}\left( 1 \right) ,x^{\left( 0 \right)}\left( 2 \right) …x^{\left( 0 \right)}\left( n \right) \right) $，计算序列的级比：
λ(k)=x(0)(k−1)x(0)(k),k=2,3...\lambda \left( k \right) =\frac{x^{\left( 0 \right)}\left( k-1 \right)}{x^{\left( 0 \right)}\left( k \right)},k=2,3...λ(k)=x(0)(k)x(0)(k−1),k=2,3...

若所有级比都在可溶覆盖$\left( e^{{-\frac{2}{n+1}},e}{\frac{2}{n+2}} \right) $内，则可以对序列做GM(1,1)灰色预测，否则需要一定变换将其变为符合要求的序列，一般我们做的是平移变换。

####建立模型
对序列做一次累加处理后生成：
(x(1)(1),x(1)(2)...x(1)(n))\left( x^{\left( 1 \right)}\left( 1 \right) ,x^{\left( 1 \right)}\left( 2 \right) ...x^{\left( 1 \right)}\left( n \right) \right) (x(1)(1),x(1)(2)...x(1)(n))
其中：x(1)(k)=∑i=1kx(1)(i)x^{\left( 1 \right)}\left( k \right) =\sum_{i=1}^k{x^{\left( 1 \right)}\left( i \right)}x(1)(k)=∑i=1kx(1)(i)

做均值生成序列：
z(1)(k)=0.5x(1)(k)+0.5x(1)(k−1)z^{\left( 1 \right)}\left( k \right) =0.5x^{\left( 1 \right)}\left( k \right) +0.5x^{\left( 1 \right)}\left( k-1 \right) z(1)(k)=0.5x(1)(k)+0.5x(1)(k−1)

建立灰微分方程：
x(0)(k)=az(1)(k)=bx^{\left( 0 \right)}\left( k \right) =az^{\left( 1 \right)}\left( k \right) =bx(0)(k)=az(1)(k)=b
相应的白化微分方程为：
dx(1)/dt=ax(1)(t)=bdx^{\left( 1 \right)}/dt =ax^{\left( 1 \right)}\left( t \right) =bdx(1)/dt=ax(1)(t)=b
利用最小二乘法并求出：
x∧(1)(k+1)=(x∧(0)(0)−b∧a∧)e−a∧k+b∧a∧\overset{\land}{x}^{\left( 1 \right)}\left( k+1 \right) =\left( \overset{\land}{x}^{\left( 0 \right)}\left( 0 \right) -\frac{\overset{\land}{b}}{\overset{\land}{a}} \right) e^{-\overset{\land}{a}k}+\frac{\overset{\land}{b}}{\overset{\land}{a}} x∧(1)(k+1)=⎝⎛x∧(0)(0)−a∧b∧⎠⎞e−a∧k+a∧b∧
并且：x∧(0)(k+1)=x∧(1)(k+1)−x∧(1)(k)\overset{\land}{x}^{\left( 0 \right)}\left( k+1 \right)=\overset{\land}{x}^{\left( 1 \right)}\left( k+1 \right)-\overset{\land}{x}^{\left( 1 \right)}\left( k \right)x∧(0)(k+1)=x∧(1)(k+1)−x∧(1)(k)

####检验预测值
(1)残差检验。令残差为ξ(k)\xi \left( k \right)ξ(k),计算：
ξ(k)=x(0)(k)−x∧(0)(k)x(0)(k)\xi \left( k \right) =\frac{x^{\left( 0 \right)}\left( k \right) -\overset{\land}{x}^{\left( 0 \right)}\left( k \right)}{x^{\left( 0 \right)}\left( k \right)}ξ(k)=x(0)(k)x(0)(k)−x∧(0)(k)
如果\xi \left( k \right)<0.2，则可认为达到一般要求。如果\xi \left( k \right)<0.1,则可认为达到较高要求。

(2)级比偏差检验。首先利用数据计算出λ(k)\lambda \left( k \right)λ(k)再用发展系数aaa求出级比偏差：
ρ(k)=1−(1−0.5a1+0.5a)λ(k)\rho \left( k \right) =1-\left( \frac{1-0.5a}{1+0.5a} \right) \lambda \left( k \right) ρ(k)=1−(1+0.5a1−0.5a)λ(k)

####预测预报
由GM(1,1)模型可得到指定失去的预测值，根据实际问题的需要，给出相应的预测报告