中国剩余定理证明及代码实现

一、定义：中国剩余定理，又称中国余数定理，是数论中的一个关于一元线性同余方程组的定理，说明了一元线性同余方程组有解的准则以及求解方法。也称为孙子定理，古有“韩信点兵”、“孙子定理”、“求一术”（宋沈括）、“鬼谷算”（宋周密）、“隔墙算”（宋周密）、“剪管术”（宋杨辉）、“秦王暗点兵”、“物不知数”之名。

二、引入：

一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：

有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。

宋朝数学家秦九韶于1247年《数书九章》卷一、二《大衍类》对“物不知数”问题做出了完整系统的解答。明朝数学家程大位在《算法统宗》中将解法编成易于上口的《孙子歌诀》：

三人同行七十希，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知

这个歌诀给出了模数为3、5、7时候的同余方程的秦九韶解法。意思是：将除以3得到的余数乘以70，将除以5得到的余数乘以21，将除以7得到的余数乘以15，全部加起来后再减去105或者105的整数倍，得到的数就是答案（除以105得到的余数则为最小答案）。比如说在以上的物不知数问题里面，使用以上的方法计算就得到

70*2+21*3+15*2=233=210+23

因此按歌诀求出的结果就是23.

三、证明：

要证明中国剩余定理，首先，我们需要知道几个必须的公式，第一个呢，是在整数{Zm}（m表示所含整数个数）中，任一个M属于{Zm}，都可写为：

M=（k1*m1）*（k2*m2）*.......*(ki*mi)

所以，当我们要求一个数A满足 ai=A mod mi时，可以写出一个对应关系{A双箭头（a1，a2，.....,ai）}

且此转换是唯一确定的，接下来，对于1<=i<=k,令Mi=M/mi,因为我们已知M=（k1*m1）*（k2*m2）*.......*(ki*mi)，所以有Mi=0 mod mj;

定义 ci=Mi * （Mi（-1） mod mi） ——其中后半部分为Mi关于mi的逆元

A=（a1*c1+a2*c2+......+ai*ci) ( mod M)

设正整数两两互素，则同余方程组

有整数解。并且在模下的解是唯一的，解为

其中，而为模的逆元。

便可以求出以上等问题。

四、代码实现：

#A=(a1*c1+a2*c2+.......+ai*ci)(mod M)

#可使用 for i in range（1，n）将mi和ai的输入延申到n-1的范围

import gmpy2

m1=eval(input())

m2=eval(input())

m3=eval(input())

#由题意，a1=a3=,a2=

a1=eval(input())

a2=eval(input())

a3=eval(input())

M=m1*m2*m3

num1=gmpy2.invert(m2*m3,m1)

num2=gmpy2.invert(m1*m3,m2)

num3=gmpy2.invert(m2*m1,m3)

c1=a1*(M/m1)*num1

c2=c1+a2*(M/m2)*num2

c3=c2+a3*(M/m3)*num3

m=c3%M

print(m)

中国剩余定理证明及代码实现相关推荐

中国剩余定理证明过程
原网址:http://blog.csdn.net/wtq493841534/article/details/5452720 中国剩余定理中国剩余定理可以描述为: 若某数x分别被d1..-.dn除得的 ...
代码精进之路~自明的代码
中间变量 Matcher matcher = headerPattern.matcher(line); if (matcher.find()) {headers.put(matcher.group(1 ...
第4章同余问题《信息学奥赛一本通提高篇》
一.同余问题常用的数论算法(C++描述) 常用的数论算法(C++描述)_linyq@BambooFan ~-CSDN博客_c++数论数论中的一些基础算法数论中的一些基础算法_Every day- ...
省选＋NOI 第八部分数论
1.线性基线性回归-线性基函数模型线性回归-线性基函数模型_哔哩哔哩_bilibili 0219数论寒假作业选讲2[线性基] 0219数论寒假作业选讲2[线性基]_哔哩哔哩_bilibili 线性 ...
微软亚研院副院长周明：从语言智能到代码智能
11月6日上午,在中国中文信息学会和中国计算机学会联合创办的"语言与智能高峰论坛"上,微软亚洲研究院副院长周明,以<从语言智能到代码智能>为题,介绍了智能代码理解和生成 ...
中国剩余定理 (孙子定理) 的证明和代码
目录 [引入] [中国剩余定理] [代码实现] [借鉴于] [引入] <孙子算经>里有这样一个题目:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何? 术曰:" ...
洛谷P2480:古代猪文（中国剩余定理）（欧拉定理）
传送门文章目录题目描述解析总结代码题目描述解析简单来说,就是求: g∑C(d,n)(d是n的约数)mod 999911659 可以先特判一下,999911659|g时,答案为0 否则, ...
设计模式：装饰模式（C++）【小明习武闯天下】
序言这集带来大家一起学下装饰模式.装饰模式看名字就能猜到是干啥就是用来搞装修进行装饰的嘛!没毛病,其实装饰模式确实是用来装饰对象的而且是为了解耦的.我们知道类是生成对象的模板,我们 ...
python以什么表示代码层次_在Python中,采用代码缩进和( )区分代码之间的层次。_学小易找答案...
[填空题]29 号元素 Cu 基态时的电子排布式为 ___ __ ,该元素在周期表中位于 __ _ 周期. __ __ 族. [单选题]"我要努力实现梦想,以弥补小时候吹过的牛"小 ...
深度学习自动编译和优化技术调研
深度学习自动编译和优化技术调研转自:https://moqi.com.cn/blog/deeplearning/ 作者:墨奇科技全栈开发在墨奇科技,我们需要将一些包含深度神经网络(DNN)的 AI ...

中国剩余定理证明及代码实现

中国剩余定理证明及代码实现相关推荐

最新文章

热门文章