BZOJ[3772]精神污染二维数点

BZOJ[3772]精神污染

本题就是求每条路径被多少条路径所覆盖（也可以求覆盖了多少条路径）。

我们对于一条路径，分析怎样的路径可以覆盖它。

假设路径A的两个端点为x，y，路径B的两个端点为a，b。(Dfn[a]<Dfn[b]andDfn[x]<Dfn[y]Dfn[a]<Dfn[b]\ and\ Dfn[x]<Dfn[y]Dfn[a]<Dfn[b] and Dfn[x]<Dfn[y])(注意这里的大小关系)

Dfn[i]表示i的dfs序，Lst[i]表示i子树内dfs序最大的点的dfs序。

如果这条路径A不是一条直链（也就是一个点是另一个点的祖先），那么如果另一条路径B要想覆盖它，就得满足B的两个端点分别在A的两个端点的子树中。

那么Dfn[a]∈[Dfn[x],Lst[x]]andDfn[b]∈[Dfn[y],Lst[y]]Dfn[a]∈[Dfn[x],Lst[x]]\ and\ Dfn[b]∈[Dfn[y],Lst[y]]Dfn[a]∈[Dfn[x],Lst[x]] and Dfn[b]∈[Dfn[y],Lst[y]]

如果这条路径是一条直链，那么。。（难以描述，先看图）

假设这条路径就是X–Y，那么另一条路径的一个端点会在A这个集合中，另一个端点会在B这个集合里，也就是不在S的子树里。（S是X到Y路径上Y的儿子）。

所以Dfn[a]∈[1,Dfn[S]−1]andDfn[b]∈[Dfn[x],Lst[x]]Dfn[a]∈[1,Dfn[S]-1]\ and\ Dfn[b]∈[Dfn[x],Lst[x]]Dfn[a]∈[1,Dfn[S]−1] and Dfn[b]∈[Dfn[x],Lst[x]]或者是Dfn[a]∈[Dfn[x],Lst[x]]andDfn[b]∈[Lst[S]+1,n]Dfn[a]∈[Dfn[x],Lst[x]]\ and\ Dfn[b]∈[Lst[S]+1,n]Dfn[a]∈[Dfn[x],Lst[x]] and Dfn[b]∈[Lst[S]+1,n]

因为这里要使Dfn[a]<Dfn[b]Dfn[a]<Dfn[b]Dfn[a]<Dfn[b]，故这个关系式才会长这样。

有了这两个关系式，本题就变成了一个二维数点问题，把每条路径看成（Dfn[x],Dfn[y])这样一个点，再用主席树什么的即可求解。(注意算的时候要把自己包含自己的情况删去)

AC代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define M 100005
using namespace std;
struct E{int to,nx;
}edge[M<<1];
int tot,head[M];
void Addedge(int a,int b){//正向表 edge[++tot].to=b;edge[tot].nx=head[a];head[a]=tot;
}
int fa[M][20];
int Dfn[M],Lst[M],id_dfs;
struct Line{int x,y; bool operator <(const Line &_)const{//先按x的DFS序排序 if(Dfn[x]!=Dfn[_.x])return Dfn[x]<Dfn[_.x];return Dfn[y]<Dfn[_.y];}
}T[M];
int dep[M];
int Up(int x,int y){//找x的第y个父亲 if(y<0)return 0;//如果x是y的祖先 for(int i=0;i<20;i++)if((1<<i)&y)x=fa[x][i];return x;
}
void dfs(int now){Dfn[now]=++id_dfs;for(int i=1;i<20;i++)fa[now][i]=fa[fa[now][i-1]][i-1];for(int i=head[now];i;i=edge[i].nx){int nxt=edge[i].to;if(fa[now][0]==nxt)continue;dep[nxt]=dep[now]+1;fa[nxt][0]=now;dfs(nxt);}Lst[now]=id_dfs;
}
long long gcd(long long a,long long b){if(!b)return a;return gcd(b,a%b);
}
struct Chair_tree{//一颗主席树 int Root[M];int sum[M*20],Lson[M*20],Rson[M*20],tot;void clear(){tot=0;Root[0]=sum[0]=Lson[0]=Rson[0]=0;}void Updata(int L,int R,int x,int oid,int &tid){tid=++tot;sum[tid]=sum[oid]+1;Lson[tid]=Lson[oid];Rson[tid]=Rson[oid];if(L==R)return;int mid=(L+R)>>1;if(x<=mid)Updata(L,mid,x,Lson[oid],Lson[tid]);else Updata(mid+1,R,x,Rson[oid],Rson[tid]);}int Query(int L,int R,int Lx,int Rx,int Lid,int Rid){if(!Lid&&!Rid)return 0;if(Lx<=L&&R<=Rx)return sum[Rid]-sum[Lid];int mid=(L+R)>>1;if(Rx<=mid)return Query(L,mid,Lx,Rx,Lson[Lid],Lson[Rid]);if(Lx>mid)return Query(mid+1,R,Lx,Rx,Rson[Lid],Rson[Rid]);return Query(L,mid,Lx,mid,Lson[Lid],Lson[Rid])+Query(mid+1,R,mid+1,Rx,Rson[Lid],Rson[Rid]);}
}CT;
int main(){CT.clear();int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<n;i++){int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);Addedge(a,b);Addedge(b,a);}long long ans=0,tot=1ll*m*(m-1)/2;dfs(1);for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d",&T[i].x,&T[i].y);if(Dfn[T[i].x]>Dfn[T[i].y])swap(T[i].x,T[i].y);//使x的DFS序大于y }sort(T+1,T+m+1);//按x的DFS序排序 for(int i=1,id=1;i<=n;i++){//往主席树里加点 CT.Root[i]=CT.Root[i-1];while(id<=m&&Dfn[T[id].x]<=i){CT.Updata(1,n,Dfn[T[id].y],CT.Root[i],CT.Root[i]);id++;}}for(int i=1;i<=m;i++){int x=T[i].x,y=T[i].y;//如果这是一条链，那么dep[x]<dep[y] int s=Up(y,dep[y]-dep[x]-1);//同题解里的图里的S if(fa[s][0]==x){//如果这是一条链 ans+=CT.Query(1,n,Dfn[y],Lst[y],CT.Root[0],CT.Root[Dfn[s]-1]);ans+=CT.Query(1,n,Lst[s]+1,n,CT.Root[Dfn[y]-1],CT.Root[Lst[y]]);ans--;//减去自己包含自己的情况 }else ans+=CT.Query(1,n,Dfn[y],Lst[y],CT.Root[Dfn[x]-1],CT.Root[Lst[x]])-1;}long long g=gcd(ans,tot);printf("%lld/%lld\n",ans/g,tot/g);return 0;
}