文章目录

求解方程f(x) = 0的根有三个基本问题
- 1.根的存在性
- 2.根的分布
- - 图解法
  - 实验法
- 3.根的精确化
- - （1）二分法
  - （2）Picard迭代法
  - - 如何选取 φ ( x ) \varphi(x) φ(x)
    - 选取迭代初值
    - 终止迭代条件
    - Aitken加速迭代格式
    - - 条件：
      - 迭代公式
      - Aitken加速迭代法
  - （3）牛顿迭代法(切线法）
  - - 迭代终止条件
  - 向量式Newton迭代
  - Newton下山法
  - - 下山条件
    - 具体做法
  - （4）弦截法
  - - 一般迭代式
    - Steffensen方法
    - 两种方法的代码实现（做作业不想手算的懒人办法）
收敛阶
- 定义
- 判定Picard迭代法的收敛阶
- Newton迭代法的收敛阶

求解方程f(x) = 0的根有三个基本问题

1.根的存在性

方程有没有根，需要通过数学知识分析。

2.根的分布

在确定方程有根后，需要确定根的有根区间（包含所有根的一个区间）。
利用图解法或实验法，在有根区间内进行根的隔离，确定根的隔离区间（只有一个根的子区间）

图解法

画出y = f(x)的粗略图形，确定曲线与x轴交点的粗略位置，从而确定根的隔离区间。

实验法

求出f(x)按一定步长抽样点的函数值
若相邻函数值符号相反，则该区间必有根存在（函数连续的情况）。

相关伪代码实现,在有根区间[a,b]上求解。

float h = (b-a)/n;//h为步长，n为分段数量
float xi;
float fxi = 0;
for(float xj = a; xj < b; xj +=h){float fxj = f(xj);if(fxj==0)xj为根;else if(fxi * fxj < 0){在区间[xi,xj]上有根，代入精确化公式。}xi = xj;fxi =fxj;
}

3.根的精确化

当求出一个方程的隔离区间后，我们设法将根的近似值进一步精确化。

这才是计算方法的内容。

几种根的精确化方法：二分法，迭代法，牛顿迭代法，弦截法。

（1）二分法

取隔离区间[a,b]中 x 0 = 1 2 ( a + b ) x_0 = \frac{1}{2}(a+b) x0=21(a+b),计算函数值 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0)
若 ∣ f ( x 0 ) ∣ < ϵ 1 |f(x_0)| < \epsilon_1 ∣f(x0)∣<ϵ1,则求得实根 x ∗ = x 0 x^* = x_0 x∗=x0， ϵ 1 \epsilon_1 ϵ1为根的允许误差，程序结束。
若 f ( a ) ∗ f ( x 0 ) < 0 f(a)*f(x_0)<0 f(a)∗f(x0)<0,说明根在 [ a , x 0 ] [a,x_0] [a,x0]内， b = x 0 b = x_0 b=x0。
若 f ( b ) ∗ f ( x 0 ) < 0 f(b)*f(x_0)<0 f(b)∗f(x0)<0,说明根在 [ x 0 , b ] [x_0,b] [x0,b]内， a = x 0 a = x_0 a=x0
判断是否达到精度要求 ( b − a ) < ϵ 2 ( b-a )< \epsilon_2 (b−a)<ϵ2,若未达到，重复1~4步骤，

（2）Picard迭代法

为求 f ( x ) = 0 f(x)= 0 f(x)=0,我们需要将它等价转化为 x = φ ( x ) x = \varphi(x) x=φ(x)。

若有 f ( x ) = x 3 − x − 1 f(x)= x^3-x-1 f(x)=x3−x−1
则可以等价转化为
x = φ 1 ( x ) = x + 1 3 x= \varphi_1(x) = \sqrt[3]{x+1} x=φ1(x)=3x+1
或
x = φ 2 ( x ) = x 3 − 1 x= \varphi_2(x) = x^3 -1 x=φ2(x)=x3−1

如何选取 φ ( x ) \varphi(x) φ(x)

φ ( x ) \varphi(x) φ(x)需要满足三个条件

φ ( x ) \varphi(x) φ(x)需要在 [ a , b ] [a,b] [a,b]内连续， ( a , b ) (a,b) (a,b)内可导.
映内性， φ ( x ) ∈ [ a , b ] ， x ∈ [ a , b ] \varphi(x)\in[a,b]，x \in [a,b] φ(x)∈[a,b]，x∈[a,b]。
∣ φ ′ ( x ) ∣ ≤ L < 1 ， x ∈ [ a , b ] |\varphi'(x)| \le L <1 ，x\in[a,b] ∣φ′(x)∣≤L<1，x∈[a,b]，L越小，收敛速度越快。

若 φ ( x ) \varphi(x) φ(x)满足这三个条件，则可以用一个初值进行迭代。

注：但是要严格的利用如上定理判断迭代公式在整个区间[a,b]内收敛非常困难，所以我们常常判断迭代公式的局部收敛性。

局部收敛性条件：

φ ( x ) \varphi (x) φ(x)在精确解 x ∗ x^* x∗ 的某一邻域内连续可微。
∣ φ ′ ( x ) ∣ < 1 |\varphi'(x)|<1 ∣φ′(x)∣<1.

选取迭代初值

一般情况下，选取区间[a,b]的中点作为迭代初值。

终止迭代条件

∣ x k − 1 − x k ∣ ≤ ϵ |x_{k-1}-x_k|\le \epsilon ∣xk−1−xk∣≤ϵ

Aitken加速迭代格式

条件：

迭代函数 φ ( x ) \varphi(x) φ(x)的精确解 x ∗ x^* x∗在领域内连续可微，且导数值变化不大，近似值为 l l l

迭代公式

x k + 1 = ( 1 − l ) − 1 [ φ ( x k ) − l x k ] , k = 0 , 1 , ⋯ x_{k+1}=(1-l)^{-1}\left[\varphi\left(x_{k}\right)-l x_{k}\right], \quad k=0,1, \cdots xk+1=(1−l)−1[φ(xk)−lxk],k=0,1,⋯

Aitken加速迭代法

首先对 x k x_k xk用 φ ( x ) \varphi(x) φ(x)迭代两次，得出及如下变量
x ~ k + 1 = φ ( x k ) , x ^ k + 1 = φ ( x ~ k + 1 ) \tilde{x}_{k+1}=\varphi\left(x_{k}\right), \quad \hat{x}_{k+1}=\varphi\left(\tilde{x}_{k+1}\right) x~k+1=φ(xk),x^k+1=φ(x~k+1)
然后使用如上变量，迭代如下公式：
x k + 1 = x ^ k + 1 − ( x ^ k + 1 − x ~ k + 1 ) 2 x ^ k + 1 − 2 x ~ k + 1 + x k x_{k+1}=\hat{x}_{k+1}-\frac{\left(\hat{x}_{k+1}-\tilde{x}_{k+1}\right)^{2}}{\hat{x}_{k+1}-2 \tilde{x}_{k+1}+x_{k}} xk+1=x^k+1−x^k+1−2x~k+1+xk(x^k+1−x~k+1)2

（3）牛顿迭代法(切线法）

要求：需要选取一个根附件的初值 x 0 x_0 x0。

x k = x k − 1 − f ( x k − 1 ) f ′ ( x k − 1 ) , k = 1 , 2 , ⋯ x_{k}=x_{k-1}-\frac{f\left(x_{k-1}\right)}{f^{\prime}\left(x_{k-1}\right)}, \quad k=1,2, \cdots xk=xk−1−f′(xk−1)f(xk−1),k=1,2,⋯

迭代终止条件

∣ x k − x k − 1 ∣ < ε |x_k-x_{k-1}|<\varepsilon ∣xk−xk−1∣<ε

向量式Newton迭代

X k + 1 = X k − [ F ′ ( X k ) ] − 1 F ( X k ) , k = 0 , 1 , 2 , ⋯ \boldsymbol{X}_{k+1}=\boldsymbol{X}_{k}-\left[F^{\prime}\left(\boldsymbol{X}_{k}\right)\right]^{-1} F\left(\boldsymbol{X}_{k}\right), \quad k=0,1,2, \cdots Xk+1=Xk−[F′(Xk)]−1F(Xk),k=0,1,2,⋯
F ′ ( X ) = ( ∂ f 1 ( X ) ∂ x 1 ∂ f 1 ( X ) ∂ x 2 ⋯ ∂ f 1 ( X ) ∂ x n ∂ f 2 ( X ) ∂ x 1 ∂ f 2 ( X ) ∂ x 2 ⋯ ∂ f 2 ( X ) ∂ x n ⋮ ⋮ ⋮ ∂ f n ( X ) ∂ x 1 ∂ f n ( X ) ∂ x 2 ⋯ ∂ f n ( X ) ∂ x n ) F^{\prime}(\boldsymbol{X})=\left(\begin{array}{cccc} \frac{\partial f_{1}(X)}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{1}(X)}{\partial x_{2}} & \cdots & \frac{\partial f_{1}(X)}{\partial x_{n}} \\ \frac{\partial f_{2}(X)}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{2}(X)}{\partial x_{2}} & \cdots & \frac{\partial f_{2}(X)}{\partial x_{n}} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \frac{\partial f_{n}(X)}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{n}(X)}{\partial x_{2}} & \cdots & \frac{\partial f_{n}(X)}{\partial x_{n}} \end{array}\right) F′(X)=⎝⎜⎜⎜⎜⎛∂x1∂f1(X)∂x1∂f2(X)⋮∂x1∂fn(X)∂x2∂f1(X)∂x2∂f2(X)⋮∂x2∂fn(X)⋯⋯⋯∂xn∂f1(X)∂xn∂f2(X)⋮∂xn∂fn(X)⎠⎟⎟⎟⎟⎞
为了避免求矩阵的逆，我们常将公式分为如下两步：

Step 1: 求解关于 Δ X k \Delta \boldsymbol{X}_{k} ΔXk 的线性方程组 F ′ ( X k ) Δ X k = − F ( X k ) F^{\prime}\left(\boldsymbol{X}_{k}\right) \Delta \boldsymbol{X}_{k}= -F\left(\boldsymbol{X}_{k}\right) F′(Xk)ΔXk=−F(Xk) ;
Step 2: 计算当前数值解 X k + 1 = X k + Δ X k . \boldsymbol{X}_{k+1}=\boldsymbol{X}_{k}+\Delta \boldsymbol{X}_{k} \text {. } Xk+1=Xk+ΔXk.

这里需要用到后面的知识：解线性方程组的解

也可采用如下简化的 Newton 迭代公式，用 [ F ′ ( X 0 ) ] − 1 \left[F^{\prime}\left(\boldsymbol{X}_{0}\right)\right]^{-1} [F′(X0)]−1近似替代 [ F ′ ( X k ) ] − 1 \left[F^{\prime}\left(\boldsymbol{X}_{k}\right)\right]^{-1} [F′(Xk)]−1。

X k + 1 = X k − [ F ′ ( X 0 ) ] − 1 F ( X k ) , k = 0 , 1 , 2 , ⋯ . \boldsymbol{X}_{k+1}=\boldsymbol{X}_{k}-\left[F^{\prime}\left(\boldsymbol{X}_{0}\right)\right]^{-1} F\left(\boldsymbol{X}_{k}\right), \quad k=0,1,2, \cdots . Xk+1=Xk−[F′(X0)]−1F(Xk),k=0,1,2,⋯.

Newton下山法

下山条件

∣ F ( X k + 1 ) ∣ < ∣ F ( x k ) ∣ , 保证全局收敛 ( 1.1 式 ) |F(X_{k+1})|<|F(x_k)|,\quad 保证全局收敛\quad(1.1式) ∣F(Xk+1)∣<∣F(xk)∣,保证全局收敛(1.1式)

具体做法

X k + 1 = X k − λ [ F ′ ( X k ) ] − 1 F ( X k ) , k = 0 , 1 , 2 , ⋯ \boldsymbol{X}_{k+1}=\boldsymbol{X}_{k}-\lambda\left[F^{\prime}\left(\boldsymbol{X}_{k}\right)\right]^{-1} F\left(\boldsymbol{X}_{k}\right), \quad k=0,1,2, \cdots Xk+1=Xk−λ[F′(Xk)]−1F(Xk),k=0,1,2,⋯
λ 可依次取为 1 , 1 2 , 1 2 2 , ⋯ , 1 2 k , ⋯ , \lambda 可依次取为 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2^{2}}, \cdots, \frac{1}{2^{k}}, \cdots \text {, } λ可依次取为1,21,221,⋯,2k1,⋯,
λ \lambda λ依次减小，直到满足 ( 1.1 ) (1.1) (1.1)式，即可进行迭代。

（4）弦截法

一般迭代式

x k + 1 = x k − x k − x k − 1 f ( x k ) − f ( x k − 1 ) f ( x k ) , k = 1 , 2 , ⋯ x_{k+1}=x_{k}-\frac{x_{k}-x_{k-1}}{f\left(x_{k}\right)-f\left(x_{k-1}\right)} f\left(x_{k}\right), \quad k=1,2, \cdots xk+1=xk−f(xk)−f(xk−1)xk−xk−1f(xk),k=1,2,⋯

Steffensen方法

若迭代法产生的迭代序列充分接近于 x ∗ x^* x∗,则 ( x k − x k − 1 ) ≈ f ( x k ) ≈ 0 (x_k-x_{k-1})\approx f(x_k)\approx 0 (xk−xk−1)≈f(xk)≈0，有
x k + 1 = x k − f 2 ( x k ) f ( x k ) − f ( x k − f ( x k ) ) , k = 1 , 2 , ⋯ x_{k+1}=x_{k}-\frac{f^{2}\left(x_{k}\right)}{f\left(x_{k}\right)-f\left(x_{k}-f\left(x_{k}\right)\right)}, \quad k=1,2, \cdots xk+1=xk−f(xk)−f(xk−f(xk))f2(xk),k=1,2,⋯

两种方法的代码实现（做作业不想手算的懒人办法）

#include <iostream>#define _USE_MATH_DEFINES
#include <math.h>double f(double x) {return 2 * cos(x) - sin(x) - 1;
}double Newton_iteration(double x1, double x0) {return x1 - (x1 - x0) / (f(x1) - f(x0)) * f(x1);
}double Steffensen_iteration(double x1) {return x1 - f(x1) * f(x1) / (f(x1) - f(x1 - f(x1)));
}int main() {int n = 20;double x0 = 0;double x1 = M_PI/4;for (int i = 0; i < n; i++) {double x2 = Newton_iteration(x1,x0);//double x2 = Steffensen_iteration(x1);x0 = x1;x1 = x2;printf_s("%.18lf\n", x2);}
}

收敛阶

定义

∣ x ∗ − x k + 1 ∣ ⩽ c ∣ x ∗ − x k ∣ p , k = 0 , 1 , ⋯ \left|x^{*}-x_{k+1}\right| \leqslant c\left|x^{*}-x_{k}\right|^{p}, \quad k=0,1, \cdots ∣x∗−xk+1∣⩽c∣x∗−xk∣p,k=0,1,⋯

判定Picard迭代法的收敛阶

若有
φ ( i ) ( x ∗ ) = 0 ( i = 1 , 2 , ⋯ , p − 1 ) , φ ( p ) ( x ∗ ) = c ≠ 0 \varphi^{(i)}\left(x^{*}\right)=0(i=1,2, \cdots, p-1), \quad \varphi^{(p)}\left(x^{*}\right) =c\neq 0 φ(i)(x∗)=0(i=1,2,⋯,p−1),φ(p)(x∗)=c=0
则Picard迭代法为p阶收敛的。

Newton迭代法的收敛阶

牛顿迭代法是单根平方收敛的，重根线性收敛的。
简化牛顿迭代法（ X k + 1 = X k − [ F ′ ( X 0 ) ] − 1 F ( X k ) ）（\boldsymbol{X}_{k+1}=\boldsymbol{X}_{k}-\left[F^{\prime}\left(\boldsymbol{X}_{0}\right)\right]^{-1} F\left(\boldsymbol{X}_{k}\right)）（Xk+1=Xk−[F′(X0)]−1F(Xk)）是线性收敛的

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