bzoj4916 神犇和蒟蒻

求μ\mu的不用说了。
构造和式

∑i=1n∑d|iφ(d)∗d∗id

\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\varphi(d)*d*\frac i d
一方面上式=∑ni=1i2\text{上式}=\sum_{i=1}^ni^2。
另一方面，上式=∑nx=1x∑⌊nx⌋d=1φ(d)∗d\text{上式} =\sum_{x=1}^n x\sum_{d=1}^{\lfloor\frac n x \rfloor} \varphi(d)*d
而我们又知道 φ(i2)=i∗φ(i)\varphi(i^2)=i*\varphi(i)
因此不难杜教筛了。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
const int p=1000000007,mod=1000007,maxn=1000000,inv=166666668;
int vis[maxn],prm[maxn],phi[maxn],sum[maxn];
struct hash
{int fir[maxn+10],ne[maxn+10],val[maxn+10],ans[maxn+10],tot;int find(int n){for (int i=fir[n%mod];i;i=ne[i])if (val[i]==n) return ans[i];return -1;}void ins(int n,int x){int y=n%mod;tot++;ne[tot]=fir[y];fir[y]=tot;val[tot]=n;ans[tot]=x;}
}h;
int inc(int x,int y)
{x+=y;return x>p?x-p:x;
}
int dec(int x,int y)
{x-=y;return x<0?x+p:x;
}
int solve(int n)
{if (n<=maxn) return sum[n];int ret=h.find(n);if (ret!=-1) return ret;ret=(LL)n*(n+1)%p*(2*n+1)%p*inv%p;for (int i=2,j;i<=n;i=j+1){j=n/(n/i);ret=dec(ret,(LL)(i+j)*(j-i+1)/2*solve(n/i)%p);}h.ins(n,ret);return ret;
}
int main()
{int tot=0,n;sum[1]=1;for (int i=2;i<=maxn;i++){if (!vis[i]){prm[++tot]=i;phi[i]=i-1;}for (int j=1;j<=tot&&(LL)i*prm[j]<=maxn;j++){vis[i*prm[j]]=1;if (i%prm[j]) phi[i*prm[j]]=phi[i]*(prm[j]-1);else{phi[i*prm[j]]=phi[i]*prm[j];break;}}sum[i]=inc(sum[i-1],(LL)i*phi[i]%p);}scanf("%d",&n);printf("1\n%d\n",solve(n));
}

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