1. 应用场景-最短路径问题

看一个应用场景和问题

胜利乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在有六个邮差，从G点出发，需要分别把邮件分别送到 A, B, C , D, E, F 六个村庄
各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5公里
问：如何计算出G村庄到其它各个村庄的最短距离?
如果从其它点出发到各个点的最短距离又是多少?

2. 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法介绍

迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法，用于计算一个结点到其他结点的最短路径。它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想)，直到扩展到终点为止

3. 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法过程

设置出发顶点为v，顶点集合V{v1,v2,vi…}，v到V中各顶点的距离构成距离集合Dis，Dis{d1,d2,di…}，Dis集合记录着v到图中各顶点的距离(到自身可以看作0，v到vi距离对应为di)

从Dis中选择值最小的di并移出Dis集合，同时移出V集合中对应的顶点vi，此时的v到vi即为最短路径
更新Dis集合，更新规则为：比较v到V集合中顶点的距离值，保留值较小的一个(同时也应该更新顶点的前驱节点为vi，表明是通过vi到达的)
重复执行两步骤，直到最短路径顶点为目标顶点即可结束

4. 算法分析过程

先定义三个数组，分别是已访问节点、前驱节点、出发顶点到其他顶点的距离

//已访问顶点集合
class Visited_vertex{//记录各个顶点是否访问过  1表示访问过,0未访问,会动态更新public int[] already_arr; //每个下标对应的值为前一个顶点下标, 会动态更新public int[] pre_visited;//记录出发顶点到其他所有顶点的距离,比如G为出发顶点，就会记录G到其它顶点的距离，会动态更新，求的最短距离就会存放到dispublic int[] dis;
}

假设邻接矩阵如下，N（65535）表示不连通

  A B C D E F G
A{N,5,7,N,N,N,2};
B{5,N,N,9,N,N,3};
C{7,N,N,N,8,N,N};
D{N,9,N,N,N,4,N};
E{N,N,8,N,N,5,4};
F{N,N,N,4,5,N,6};
G{2,3,N,N,4,6,N};

以G点为出发顶点，初始化后

以G为出发顶点访问过一次后的情况

经过G出发访问一轮后，继续选择并返回新的访问顶点，比如访问G之后，就是以 A点作为新的访问顶点(注意不是出发顶点)，遍历所有的顶点，即可得到

5. 代码实现

import java.util.Arrays;public class DijkstraAlgorithm {public static void main(String[] args) {char[] vertex = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};// 邻接矩阵int[][] matrix = new int[vertex.length][vertex.length];// 表示不可以连接final int N = 65535;matrix[0] = new int[]{N, 5, 7, N, N, N, 2};matrix[1] = new int[]{5, N, N, 9, N, N, 3};matrix[2] = new int[]{7, N, N, N, 8, N, N};matrix[3] = new int[]{N, 9, N, N, N, 4, N};matrix[4] = new int[]{N, N, 8, N, N, 5, 4};matrix[5] = new int[]{N, N, N, 4, 5, N, 6};matrix[6] = new int[]{2, 3, N, N, 4, 6, N};// 创建Graph对象Graph graph = new Graph(vertex, matrix);// 显示图graph.showGraph();// 以G作为出发顶点graph.dsj(6);graph.showDijkstra();}
}// 已访问顶点的集合
class VisitedVertex {// 记录各个顶点是否访问过 1表示访问过，0未访问过，会动态更新public int[] already_arr;// 每个下标对应的值为前一个顶点的下标，会动态更新public int[] pre_visited;// 记录出发顶点到其他所有顶点的距离，会动态更新public int[] dis;/*** 构造器** @param length 顶点个数* @param index  出发顶点的下标，比如G为顶点，下标就是6*/public VisitedVertex(int length, int index) {this.already_arr = new int[length];this.pre_visited = new int[length];this.dis = new int[length];// 初始化 dis 数组Arrays.fill(dis, 65535);// 设置出发顶点被访问过this.already_arr[index] = 1;// 设置出发顶点的访问距离为0this.dis[index] = 0;}// 判断index顶点是否被访问过public boolean in(int index) {return already_arr[index] == 1;}// 更新出发顶点到index顶点的距离public void updateDis(int index, int len) {dis[index] = len;}// 更新pre这个顶点的前驱顶点为index顶点public void updatePre(int pre, int index) {pre_visited[pre] = index;}// 返回出发顶点到index顶点的距离public int getDis(int index) {return dis[index];}// 继续选择并返回新的访问顶点，比如G访问后，就是A作为新的访问顶点（注意不是出发顶点）public int updateArr() {int min = 65535;int index = 0;for (int i = 0; i < already_arr.length; i++) {// 找出没有被访问过，且到出发顶点距离最短的点if (already_arr[i] == 0 && dis[i] < min) {min = dis[i];index = i;}}// 更新index顶点被访问过already_arr[index] = 1;return index;}// 显示最后的结果，将三个数组的情况输出public void show() {System.out.println("==========================");//输出already_arrfor (int i : already_arr) {System.out.print(i + " ");}System.out.println();//输出pre_visitedfor (int i : pre_visited) {System.out.print(i + " ");}System.out.println();//输出disfor (int i : dis) {System.out.print(i + " ");}System.out.println();char[] vertex = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};int count = 0;for (int i : dis) {if (i != 65535) {System.out.print(vertex[count] + "(" + i + ") ");} else {System.out.println("N ");}count++;}System.out.println();}
}class Graph {// 顶点数组private char[] vertex;// 邻接矩阵private int[][] matrix;// 已访问的顶点的集合private VisitedVertex vv;public Graph(char[] vertex, int[][] matrix) {this.vertex = vertex;this.matrix = matrix;}// 显示图public void showGraph() {for (int[] link : matrix) {System.out.println(Arrays.toString(link));}}//显示结果public void showDijkstra() {vv.show();}// 更新index下标顶点到周围顶点的距离和周围顶点的前驱顶点private void update(int index) {int len = 0;// 遍历matrix[index]行int[] ints = matrix[index];for (int i = 0; i < ints.length; i++) {// len是出发顶点到index顶点的距离+从index顶点到i顶点的距离len = vv.getDis(index) + ints[i];// 如果i顶点没有被访问过，并且len小于出发顶点到i顶点的距离，就需要更新if (!vv.in(i) && len < vv.getDis(i)) {// 更新i顶点的前驱为index顶点vv.updatePre(i, index);// 更新出发顶点到i顶点的距离vv.updateDis(i, len);}}}/*** 算法实现** @param index 出发顶点对应的下标*/public void dsj(int index) {vv = new VisitedVertex(vertex.length, index);// 更新index顶点到周围顶点的距离和前驱顶点update(index);for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {// 选择并返回新的访问点index = vv.updateArr();// 更新index顶点到周围顶点的距离和前驱顶点update(index);}}}

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目录

1. 应用场景-最短路径问题

2. 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法介绍

3. 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法过程

4. 算法分析过程

5. 代码实现

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