怎样手动开立方？（开立方术）

开立方术

可用《九章算术》中的“开立方术”来手动开立方：

开立方术曰：置积为实（“实”是被开立方数）。借一算（借一算筹用以定位），步之（所借算筹一步一步地移动），超二等（“二等”就是数位的二位，“超二等”就是使所借的算筹由个位移至千位，再移至百万位，每移一步应超两位）。议所得（议得初商），以再乘所借一算为法（再乘：两次乘），而除之。除已，三之为定法。复除，折而下。以三乘所得数，置中行。复借一算，置下行。步之，中超一（“超”作退位解），下超二等。复置议，以一乘中，再乘下，皆副以加定法。以定法除。除已，倍下，并中，从定法。复除，折下如前。开之不尽者，亦为不可开。
今有积一百八十六万八百六十七尺，问为立方几何？
答曰：一百二十三尺。

以1860867为例：（本处注释在白尚恕先生的相关叙述上加以细化）

置积为实。借一算，步之，超二等。

置积为实。借一算，如图1所示：

步之，超二等。借算在千位，商在十位，借算在百万位，商在百位，即“言千之面十，言百万之面百”。如图2所示：

议所得，以再乘所借一算为法，而除之。

“实”的百万位数字为1，故议得初商为1。因借算在百万位，故置初商数字1于百位。如图3所示：

“以再乘所借一算为法，而除之”：以初商1两次乘借算1000000得1000000×1×1 = 1000000称为“法”，由“实”减去得：1860867－1000000 = 860867。如图4所示：

除已，三之为定法。复除，折而下。

“三之为定法”：以3乘“法”1000000得3000000，为“定法”。“折而下”：“定法”退一位为300000，借算移至千位。如图5所示：

以三乘所得数，置中行。复借一算，置下行。步之，中超一，下超二等。

“以三乘所得数，置中行”：用3乘所得初商，置于中行。

“复借一算，置下行”：再借一算筹，置于下行。

“步之，中超一，下超二等”：“超”作退位解，即中行之数退一位，下行之数退两位。如图6所示：

复置议，以一乘中，再乘下，皆副以加定法。以定法除。

“复置议”：以“定法”300000试除“实”860867，议得次商数字为2，因借算于千位，故置次商数字于十位。如图7所示：

“以一乘中”：以次商数字2乘“中行”得2×30000=60000；

“再乘下”：次商数字2再乘“下行”得2×2×1000=4000；

“皆副以加定法”：上面两数副置一旁，与定法相加，得300000 + 60000 + 4000 = 364000。如图8所示：

“以定法除”：以次商数字2乘“定法”364000得728000，由”实“减去得：

860867 － 2×364000 = 132867。如图9所示：

除已，倍下，并中，从定法。

“倍下”：以2乘副置下行的数4000得8000；

“并中，从定法”：与副置中行的数60000以及定法相加得 8000 + 60000 + 364000 = 432000.如图10所示：

复除，折下如前。

“折下”：“定法”退一位为43200，借算移至个位。

“如前”：重复“以三乘所得数，置中行。复借一算，置下行。步之，中超一，下超二等。复置议，以一乘中，再乘下，皆副以加定法。以定法除。”，即：

以3乘所得数12得36，置于中行，再借一算筹，置于下行。如图11所示：

中行之数退一位，下行之数退两位，如图12所示：

以132867除以43200，议得末位商数为3，末位商数3乘“中行”得：3×360 = 1080，末位商数3再乘“下行”得3×3×1=9，与定法相加，得：1080 + 9 + 43200 = 44289。如图13所示：

以末位商数3乘“定法”44289得132867，由”实“减去得：132867 － 3×44289 = 0，故求得立方根为123。如图14所示：

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