网络流24题题解戳这里~

网络流基础概念

考虑这幅图，你可以看成从村庄s到村庄t有很多条物流道路，每个点都是个中转结点，每条路的权值即该条路最多能运送的货物

介绍一些基本概念：

网络：一个入度为0的点s，一个出度为0的点t，每条边有自己权值的有向图
容量：当前边上的权值，比如SA的容量即为3
源点：入度为0的点，通常s来表示
汇点：出度为0的点，通常t来表示
流：一个合法解称作一个流，也就是一条可以从源点到汇点的一条合法路径。
流量：每条边各自运送的包裹数称作其流量，最终收集的总数为整个流的流量。边上的流量：f（SA）=2，代表今天从s发了两个货物到A，最终整幅图每个流的流量和即为这张网络的总流量

显然我们会有两个定理
容量限制：每条边的流量不超过其容量(仓库塞不下这么多包裹)。
流量平衡：对于除源点和汇点以外的点来说，其流入量一定等于流出量。

割：一个边集，删掉这个边集即可使s与t不连通，比如说{C->T,S->A}即是一个割集，割集的大小即是边的容量和，这里为5
最小割：大小最小的割集
最大流：限制下能走到t的最大流量，即最终能送到t的最多包裹数

假设我们沿着S->A->C->T发包裹，因为容量限制的存在，我们最多发两个包裹，那么剩下的这幅容量图，即是我们的残量网络

增广路：即能增加运货量的s到t的路径

之前那幅图即有一条增广路：S->A->T

最大流-最小割

给出结论：最小割的容量等于最大流的流量
所以求最小割和最大流本质是一个问题，接下来说明最大流的求法

朴素想法

考虑这幅很小的简单图，我们显然可以用深搜的思想去暴力求解
假设增广路的流量为Δi\Delta{i}Δi ，那么显然最后的最大流f为 ∑i=1nΔi\sum_{i=1}^n{\Delta{i}}∑i=1nΔi

这种算法没有错，但显然只适用于很小的图，才可以在时间限制内去找到所有的增广情况

FF算法（Ford-Fulkerson）

FF算法是在原图上通过建立后悔边的方法来加快dfs，哪怕一开始我们选择的路径是错误的，我们也可以通过后悔边不断去修正这个错误，以此达到最后正确的结果（把所有错误的情况修正了，就是正确的结果之一）

后悔边

我们一开始会对所有的有向边建一条反向的容量为0的边，这就是后悔边
同时后悔边有一个性质
在任意一个残量网络中，残量网络边上的容量+后悔边上的容量=这条边初始的容量

现在我们来看看后悔边是怎么生效的

我们可以看见，当我们沿着后悔边去走了一段达到了终点后，我们再次修改，就相当于把原来不该走的错误修正了，最后网络会进行正确的增广，这就是后悔边的作用

对于一幅残量网络，新找到的需要通过后悔边到达终点的路，相当于将原来后悔边所在处的路从原来的路径删去

假设回头的路是我们的后悔边，那么我们沿着后悔走上的那几段，都应该从之前找到的路径删去并更新网络，最后我们的图会变成正确的模样（比如上图我们一开始只找到三条直达路，但我们新找到了最下面那条很长弯曲的路，其中经过两条后悔边，那么我们从原来的网络删去这两段，最后网络会更新成右边正确的样子，即有四条路（假设路多就是最大流大））

那么现在我们显然发现了后悔边是能维护结果的正确性的，那么我们来实现FF

先回顾整个过程，我们最少得有两个函数

ll dfs(int v,int t,ll flow)//去找增广路
{if(v==t)//到达汇点返回return flow;used[v]=true;for(int i=0;i<G[v].size();i++)//遍历整幅图{edge &e=G[v][i];if(!used[e.to]&&e.cap>0)//下个结点未被访问过，并且这条路容量大于0就走{int d=dfs(e.to,t,min(flow,e.cap));if(d>0)//找到增广路{e.cap-=d;//容量-dG[e.to][e.rev].cap+=d;//反向边增加dreturn d;}}}return 0;//没有找到
}ll get_maxFlow(int s,int t)
{ll maxFlow = 0;for(;;){memset(used,0,sizeof(used));ll f=dfs(s,t,INF);//不断去找增广路if(f==0)return maxFlow;//找不到就返回，可以证明当找不到增广路的时候一定是正确的解maxFlow+=f;}
}

接下来贴完整的FF模板，请确保上面两个关键函数已经看懂了
我们采用邻接表的方式存图，请注意加边函数，因为每次存边的时候是正向和反向一起当做一组存的，所以我们可以通过size来判定对应的正向边或反向边（建议自己模拟操作理解下）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define INF 0x3f3f3f3f
const int maxn=205;struct edge{int to;//终点ll cap;//容量int rev;//反向边
};int n,m,s,t;
vector<edge> G[maxn];
bool used[maxn];//dfs中用到的访问标记void add_edge(int from,int to,ll cap){G[from].push_back((edge){to,cap,G[to].size()});G[to].push_back((edge){from,0,G[from].size()-1});
}ll dfs(int v,int t,ll flow)//去找增广路
{if(v==t)//到达汇点返回return flow;used[v]=true;for(int i=0;i<G[v].size();i++)//遍历整幅图{edge &e=G[v][i];if(!used[e.to]&&e.cap>0)//下个结点未被访问过，并且这条路容量大于0就走{int d=dfs(e.to,t,min(flow,e.cap));if(d>0)//找到增广路{e.cap-=d;//容量-dG[e.to][e.rev].cap+=d;//反向边增加dreturn d;}}}return 0;//没有找到
}ll get_maxFlow(int s,int t)
{ll maxFlow = 0;for(;;){memset(used,0,sizeof(used));ll f=dfs(s,t,INF);if(f==0)return maxFlow;maxFlow+=f;}
}int main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin>>n>>m>>s>>t;int u,v;ll w;while(m--){cin>>u>>v>>w;add_edge(u,v,w);}ll ans=get_maxFlow(s,t);cout<<ans<<endl;return 0;
}

可以在洛谷的网络流模板提交试试，会被卡掉两组数据，FF虽然简单易懂，但在顶点数或最大流量非常大师，这个算法就不够快了

Dinic算法

FF算法是通过深搜来找增广路，并沿着它进行增广。与之相对，dinic算法总数寻找最短的增广路（bfs来找），并沿着它增广。
因为最短增广路的长度在增广的过程中始终不会变短，所以我们不用每次都跑一遍bfs来找最短增广路。

这里引用分层图的概念

我们每一次跑一遍bfs，就可以构建一幅分层图，s为0，所有一步可达的点在层次1，两步可达的点在层次2，以此类推
我们在分层图上跑dfs，直到找不到新的增广路了，就说明最短增广路的长度确实变长了，我们就重新跑一遍bfs构造新的分层图

直到最后我们的汇点不在层次网络中，算法终止，我们就找到了最大流

PS：Dinic中有一个优化叫做当前弧优化
即每一次dfs增广时不从第一条边开始，而是用一个数组cur记录点u之前循环到了哪一条边，以此来加速

总代码如下，优化的地方已在代码中标出：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define INF 0x3f3f3f3f
const int maxn=250;struct edge{int to;//终点ll cap;//容量int rev;//反向边
};int n,m,s,t;
vector<edge> G[maxn];
int level[maxn];//距离标号
int iter[maxn];//iter就是记录当前点u循环到了哪一条边//连边函数，edge中的rev记录的是反向边在数组中的位置
void add_edge(int from,int to,ll cap)
{G[from].push_back((edge){to,cap,G[to].size()});G[to].push_back((edge){from,0,G[from].size()-1});
}void bfs(int s)//广搜构建分层图
{memset(level,-1,sizeof(level));//每跑一次bfs都要把之前的分层图清空queue<int> q;level[s]=0;//源点层次为0q.push(s);while(!q.empty()){int v=q.front();q.pop();for(int i=0;i<G[v].size();i++){edge e=G[v][i];if(level[e.to]<0&&e.cap>0)//只要这个点还未访问过并且能走{level[e.to]=level[v]+1;//那这一点就是上一点能一步到达的点q.push(e.to);}}}
}ll dfs(int v,int t,ll f)
{if(v==t)//到达汇点终止return f;for(int &i=iter[v];i<G[v].size();i++)//注意这里的&符号，这样i增加的同时也能改变iter[v]的值，达到记录当前弧的目的{edge &e=G[v][i];if(e.cap>0&&level[v]<level[e.to])//残量不为0并且满足分层图{ll d=dfs(e.to,t,min(f,e.cap));if(d>0){e.cap-=d;//正向边减流量G[e.to][e.rev].cap+=d;//反向边加流量return d;}}}return 0;//否则没有增广路，返回0
}ll dinic(int s,int t)
{ll flow=0;for(;;){bfs(s);if(level[t]<0)//汇点不在分层图中了就返回，找到最大流了return flow;memset(iter,0,sizeof(iter));//每一次建立完分层图后都要把iter置为每一个点的第一条边ll f;while((f=dfs(s,t,INF))>0){//找增广路flow+=f;}}
}int main()
{cin>>n>>m>>s>>t;int u,v;ll w;while(m--){cin>>u>>v>>w;add_edge(u,v,w);}ll ans=dinic(s,t);cout<<ans<<endl;return 0;
}

洛谷中提交能AC的

我会在我另一篇blog中记录网络流24题每题的题解和代码

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