KMP(Knuth-Morris-Pratt) 字符串查找算法
1、背景
我接触到这个算法是在力扣的每日一题中（28. 实现 strStr()），这本来只是一个分类为简单的题目。但是却在官方题解中介绍了这个看似十分复杂的算法。
在官方题解中给出了详细的证明和公式推导，但是题解中满屏公式确实难以让人快速理解KMP.所以本文的目的是对推导做一个直观可视的解释。阅读时推荐与力扣官方题解对比理解。
2、解决的问题
这里直接引用力扣对题目的描述：
给你两个字符串 haystack 和 needle ，请你在 haystack 字符串中找出 needle 字符串出现的第一个位置（下标从 0 开始）。如果不存在，则返回 -1。
题目的描述是要求我们实现一个与 C 语言的 strstr() 或Java 的 indexOf()功能相同的函数，相信稍微有编程基础的同学都使用过类似的函数。从题目得定义上看，确实配得上简单的标签。但如果我们的目的只是为了在程序中使用查找字符串的功能（可以直接使用内置函数），或者只是为了在力扣通过用例（可直接使用暴力算法，时间复杂度O（m*n））。也没有必要再费周章来学习Knuth-Morris-Pratt 算法、Boyer-Moore 算法、Sunday 算法等算法。
下文将根据题解中KMP(Knuth-Morris-Pratt)算法，做一个可容易理解的教学。
3、解题思路
3.1 暴力算法
在了解KMP算法之前，我们有必要先了解暴力算法的实现，这样有助于我们在暴力算法的基础上进一步优化算法。
暴力的算法的思路很简单，遍历haystack数组的每个元素下标为i，从i开始截取长度为needle.length()的子数组。对比 “需要查找的数组needle” 和每一个 “截取的子数组” ，返回第一个匹配成功的数组。在实现上，当我们已经成功匹配第一个子数组之后，便已经确定了要返回的结果。对于之后的子数组匹配可以进行剪枝操作，无需继续匹配。暴力匹配的代码非常的简单，下面用一个例子来实际演示一下。
class Solution {public int strStr(String haystack, String needle) {int n = haystack.length(), m = needle.length();for (int i = 0; i + m <= n; i++) {boolean flag = true;for (int j = 0; j < m; j++) {if (haystack.charAt(i + j) != needle.charAt(j)) {flag = false;break;}}if (flag) {return i;}}return -1;}
}
下面例子中haystack为"abcaabcdab", 需要查找的needle为"abcd"。
第一步、首先令i=0; j=0; 。
第二步、移动黑色箭头j移动来进行字符比较，直到发现字符不匹配时（‘c’!=‘d’）。如下图：
第三步、将指针j回溯,令i=i+1;j=i;，然后重复第二步动作。如下图
第四步、直到needle和haystack的子串完全匹配或者移动到haystack的末尾（准确得说是，当haystack的剩余子串长度已经小于needle的长度时）。整个匹配过程结束。如下图:
3.2 暴力算法的复杂度
从上述的例子可以很清楚的看到，指针i需要遍历haystack。同时对于i的每个位置，j最多需要比较needle.length()次。因此时间复杂度O(m*n)。m为haystack的长度和n为needle的长度。
3.3 优化
直观上想要从haystack中找到needle，必须完整遍历haystack一次，O(m)这部分是不可减少的复杂度（如果不能完整遍历haystack一次，那么haystack有部分元素相当于是未知的，自然无法实现算法）。我们注意到在3.1小节中在每次匹配失败后，指针j需要回溯（这是O(n)复杂度的来源）。那么是否有方法减少或者消除回溯的成本呢？
从视觉上观察，我们发现j回溯之前（j=5）。已经扫描的haystack（‘abcabc’）与needle（‘abcabd’），观察他们的蓝色部分，发现haystack的后缀与needle的前缀相同（haystack（‘abcab’）与needle（‘abcab’））。因此这一部分无需进行重复比较。如下图，红色是无须比较的部分。
同时KMP与暴力算法相比，发现指针j无需回溯。因此可以省略i指针（其实是省略的是每次比较字串的j指针，这里只是为了方便说明省略了一个指针。）
阅读到了这一步，大部分读者基本已经可以发现KMP算法的核心，求解最大的相等的前后缀，即前缀函数π(i)，这里我们来看一下前缀函数定义: 对于长度为 m 的字符串 s，其前缀函数π(i)(0≤i<m) 表示 s 的子串 s[0:i] 的最长的相等的真前缀与真后缀的长度。 前缀函数定义有问题的同学可以阅读官方题解中的例子。（这里只补充一点容易误解的地方：最长前缀与最长后缀可以重叠，例如"aaaa"最长的一对相等的真前后缀均为"aaa"）。
3.4 求解前缀函数推理
(PS:此部分对照力扣题解中公式推导进行讲解）
前缀函数的性质：
1、π(i)≤π(i−1)+1。
依据 π(i) 定义得：s[0:π(i)−1]=s[i−π(i)+1:i]。（这一步直接按照定义展开即可得到 ，π(i)的定义：表示 s 的子串 s[0:i] 的最长的相等的真前缀与真后缀的长度。）
将两区间的右端点同时左移，可得：s[0:π(i)−2]=s[i−π(i)+1:i−1]。（右端点左移一位后，得到的结果是移动前的子字符串，所以依然相等。）
依据 π(i−1) 定义得：π(i−1)≥π(i)−1，即 π(i)≤π(i−1)+1。（这一步稍难理解。上一步已经得到了长度为 [π(i)−1] 的相等前后缀，且后缀满足π(i−1)的要求。所以可得s[0:i-1]至少存在长度为π(i)−1的相等前后缀，可得结论。）
2、如果 s[i]=s[π(i−1)]，那么 π(i)=π(i−1)+1。
依据π(i−1) 定义得：s[0:π(i−1)−1]=s[i−π(i−1):i−1]。
因为 s[π(i−1)]=s[i]，可得s[0:π(i−1)]=s[i−π(i−1):i]。
依据 π(i) 定义得：π(i)≥π(i−1)+1，结合第一个性质可得π(i)=π(i−1)+1。（这个推理的过程与上一性质完全一致，读者可自行揣摩）
没有看懂上述两个性质推导的同学，也可无影响的继续阅读。只需记住一点：当且仅当s[π(i−1)]=s[i]时，存在π(i)=π(i−1)+1。否则π(i)<=π(i−1)。
知道了上面的性质，我们便可以尝试求解π(i)。上面的性质给我们一个非常明显的提示 “π(i)=π(i−1)+1” ,并且π(0)=0已知，我们就可以尝试通过递推公式来求解π(i)。下面分两种情况：
(1)当s[π(i−1)]=s[i]时，此时我们可以直接套用递推公式。
(2)当s[π(i−1)]≠s[i]时，因为最大前后缀已经匹配失败，我需要继续递归寻找更小的"最大前后缀"。下面我先举一个非常特殊的例子，来帮助读者理解为什么时"递归"搜索。请看下图：
π(22)=10已知（所有小于22的π(i)都应该是已知的，因为我们是从小到大递推的，所以之前的数字都是已经推到过的。这里不一一计算），如何求解π(23)呢？下图为了方便作图对比（以及方便理解），将字符串分成了两部分（读者可以想象它们还是存储在同一个数组内的）。
首先尝试（1）规则，发现匹配失败。看到下面的图，一些灵敏的同学可能会发现，这不是和之前haystack和needle的匹配很类似么？我们要找到与橘色前缀相等的最大蓝色后缀，等价于寻找橘色数组的最大相等前后缀。我在网上找到了一个很棒的图帮助大家理解（图中的next数组即为本文中的前缀函数）。
把上图转换成我们的例子中的数据就是下图。因为两个数组前十个元素相同（原因是初始数组π(22)=10），所以 大红色数组 与 紫红色数组 元素相同。接下来，如图可以查到此处(π=5)，由π=5可得 紫红色数组 等于 浅蓝色数组 。因此可以推出 大红色数组 等于 浅蓝色数组 。
| 五颜六色图 |
|---|
此时数组已经递归到了比较"abcabc"与"abcabd"。仔细观察这个例子其实就是我们文章开篇时比较的例子。
3.5 前缀函数求解步骤
本节是对该算法的总结，我们在递推求解前缀函数时，另设定j 的初始值为 π(i−1)。我们只需要不断迭代 j（令 j 变为 π(j−1)）直到 s[i]=s[j] 或 j=0 即可，如果最终匹配成功（找到了 j 使得 s[i]=s[j]），那么 π(i)=j+1，否则 π(i)=0。
4、 回归到 实现 strStr()
其实在之前求解前缀函数的过程中，笔者已经有意将前缀函数的意义与strStr()做对比。其实strStr()可以理解为前缀函数的一种特例（即在haystack中寻找后缀等于needle时的i）。
在实现上，可以将needle与haystack拼接，在递推π(i)的过程中，如果发现π(i)=needle.length()。即可说明寻找到了等于needle的后缀。
这里还有一点需要强调：从上面的实例中可以看出，在求解前缀函数时递归调用了π(j−1)，而仅仅第一次调用，就可以把需要匹配的数组替换为i-1时的最大的前缀。再次放出之前 五颜六色图 ，可以发现第一次递归后的查询其实都可以在原来橘色的数组 内进行（橘色数组包括图中的浅蓝橘色紫红，本质上就是递归后查询橘色数组内浅蓝紫红部分。首尾的浅蓝色和紫红色只是为了方便比较而标记出来的）。而我们需要寻找的最大π(i)=needle.length()。所以橘色数组的长度不会超出needle。因此在下面的代码实现中，第一步只需初始化needle数组的前缀函数即可。
这里直接贴出力扣中的代码实现：
class Solution {public int strStr(String haystack, String needle) {int n = haystack.length(), m = needle.length();if (m == 0) {return 0;}int[] pi = new int[m];for (int i = 1, j = 0; i < m; i++) {while (j > 0 && needle.charAt(i) != needle.charAt(j)) {j = pi[j - 1];}if (needle.charAt(i) == needle.charAt(j)) {j++;}pi[i] = j;}for (int i = 0, j = 0; i < n; i++) {while (j > 0 && haystack.charAt(i) != needle.charAt(j)) {j = pi[j - 1];}if (haystack.charAt(i) == needle.charAt(j)) {j++;}if (j == m) {return i - m + 1;}}return -1;}
}5、复杂度分析
因为递推求解前缀函数的过程不需要回溯，因此时间复杂度为O(n+m)。其中 n 是字符串 haystack 的长度，m 是字符串 needle 的长度。我们至多需要遍历两字符串一次。
小记
Hi, 初次见面。
之前我曾经也记录过许多笔记，同时也向别人分享过我的笔记，并且也曾经从网上摘抄过不少精彩的分享。这篇文章是我第一次从最初就以写博客为最初目的去完成的。IT行业普遍热爱开源，崇尚共享和开源精神。也因为此，我们总是能在网上找到非常多的优质学习资料。虽然现阶段我一如既往是个技术菜鸟，但也有成为大神的心，❤️热爱和拥抱开源的心。凡事先从点滴做起，期待可以在博客上，发一些心得体会。如果可以帮助到别人，也算是一个有输出的人。
目前看来，我还有很多不懂，很多需要学习。期待与每一位逐梦路上的同学一起进步、成长。
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