引言

在Prim算法和Kruskal算法中，我们学习了寻找加权无向图的最小生成树的Prim算法：构造最小生成树的每一步都向生成树中添加一条新的边。

今天要学习类似的方法来计算最短路径——Dijkstra算法。

Dijkstra算法

最短路径树中的边：edgeTo[v]的值为树中连接v和它的父节点的边。

最短路径树：包含了顶点s到所有可达的顶点的最短路径

distTo[v]表示从s到v的已知最短路径的长度

Dijkstra算法构造最小生成树的每一步都向生成树中添加一条新的边。首先将distTo[s]初始化为0，distTo[]中的
其他元素初始化为正无穷。然后将distTo[]最小的非树顶点加入树中，如此，知道所有的顶点都在树中。

下面通过实例图解分析一下该算法。

对上篇文章图论算法——加权有向图的数据结构中的图例求解最短路径树，过程如下：

初始将0加入优先队列，然后将0增加到最短路径树，同时让它出队。它的邻接点2和4加入到优先队列中。从队列中找到distTo[]值最小的为distTo[2]=0.26，将对应的边0→2加粗标红。

从队列中删除顶点2，将0→2添加到树中，将7加入优先队列。此时distTo[7] = 0.26 + 0.34 = 0.60。图中黑色粗线表示该条边已经在树中，如0→2。

从队列中删除顶点4，将0→4添加到树中，将5加入优先队列。这里没有将7加入优先队列是因为当前distTo[7] = 0.60 小于从0->4,4->7的路径权重和，意味着边4->7失效。

从队列中删除顶点7，将2→7添加到树中，将3加入优先队列。边7->5失效。

从队列中删除顶点5，将4→5添加到树中，将1加入优先队列。边5->7失效。

从队列中删除顶点3，将7→3添加到树中，将6加入优先队列。

从队列中删除顶点1，将5→1添加到树中，边1->3失效。

从队列中删除顶点6，将3→6添加到树中。

代码

package com.algorithms.graph;import com.algorithms.heap.IndexMinPQ;
import com.algorithms.stack.Stack;/*** 最短路径算法* @author yjw* @date 2019/6/6/006*/
public class DijkstraSP {/*** edgeTo[v]表示从s到v的最短路径上的最后一条边*/private DirectedEdge[] edgeTo;/*** distTo[v]为从s到v的已知最短路径的长度*/private double[] distTo;private IndexMinPQ<Double> pq;public DijkstraSP(EdgeWeightedDigraph g, int s) {edgeTo = new DirectedEdge[g.vertexNum()];distTo = new double[g.vertexNum()];pq = new IndexMinPQ<>(g.vertexNum());//初始化for (int v = 0; v < g.vertexNum(); v++) {distTo[v] = Double.POSITIVE_INFINITY;}//将起点到自己的距离声明为0distTo[s] = 0.0;//入队pq.insert(s, 0.0);while (!pq.isEmpty()) {visit(g, pq.deleteMin());}}private void visit(EdgeWeightedDigraph g, int v) {for (DirectedEdge e : g.adj(v)) {int w = e.to();//distTo[w] > distTo[v] + e.weight()//意思就是，如果经由v点到w点，权重比之前更小（路径更短）,则选择经由v点if (Double.compare(distTo[w], distTo[v] + e.weight()) > 0) {//更新从s到w的最短路径长度distTo[w] = distTo[v] + e.weight();//更新边edgeTo[w] = e;//pq中是否含有wif (pq.contains(w)) {//更新索引w对应的值，可能会调整索引堆的结构pq.changeKey(w, distTo[w]);} else {//不存在则插入pqpq.insert(w, distTo[w]);}}}}public double distTo(int v) {return distTo[v];}public boolean hasPathTo(int v) {return distTo[v] < Double.POSITIVE_INFINITY;}public Iterable<DirectedEdge> pathTo(int v) {if (!hasPathTo(v)) {return null;}Stack<DirectedEdge> path = new Stack<>();//从终点开始，不断的取上一条路径,因此利用了栈来打印成起点到终点的正序for (DirectedEdge e = edgeTo[v]; e != null; e = edgeTo[e.from()]) {path.push(e);}return path;}public static void main(String[] args) {EdgeWeightedDigraph g = new EdgeWeightedDigraph(8);g.addEdges(0,2,.26,4,.38);g.addEdge(1,3,.29);g.addEdge(2,7,.34);g.addEdge(3,6,.52);g.addEdges(4,7,.37,5,.35);g.addEdges(5,1,.32,7,.28,4,.35);g.addEdges(6,4,.93,0,.58,2,.40);g.addEdges(7,3,.39,5,.28);DijkstraSP dsp = new DijkstraSP(g,0);for (int v = 0; v < g.vertexNum(); v++) {if (dsp.hasPathTo(v)) {System.out.print("0 to " + v + ": ");for (DirectedEdge e : dsp.pathTo(v)) {System.out.print(e +" ");}System.out.println();}}}
}

其中用到的IndexMinPQ见图解索引二叉堆

在一幅含有V个顶点和E条边的加权有向图中，使用Dijkstra算法计算根节点为给定起点的最短路径树所需的空间与V成正比，时间与ElogV成正比(最坏情况下)

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