题目

题目大意

有一个字符串\(p\)。一开始字符串\(s\)为空串。
接下来进行若干次操作：在\(s\)的某个空隙中插入\(p\)。
给出操作后的\(s\)，问长度最小的\(p\)。

思考历程

感觉是一道神仙题。
于是考虑暴力。
在\(s\)前面找连续的最长串，作为\(p\)的前缀。显然这个串中只出现过一次\(s_1\)
同样地，在后面也找一条，作为后缀。
将前缀出现的位置和后缀出现的位置标记一下。
统计每个字符出现的个数，求最大公因数\(g\)，表明操作的次数为\(g\)的因数。
然后按照长度从小到大枚举子串，如果当前子串的头和尾都被标记了，并且中间的字符个数的比例和整个字符串的比例相等，就取这个字符串作为\(p\)暴力判断。
暴力判断的时候，每次用\(KMP\)找出一个子串，将它删去，递归。
如果有多个这样的子串，那就分别搞。

然而出现了某细节错误，导致只有\(10\)分。

正解

这题的正解居然是\(DP\)！
考虑一个字符串，它的所有元素会在后面的操作中逐渐分离，但是它们的相对顺序是不变的。
而且它原来相邻的两个元素在后面的操作之后，两个元素之间的空间可以转化成个子问题。如果可行，则这个子问题也必定可行。
先考虑普通的\(DP\)思路：\(f_{l,r,k}\)表示区间\([l,r]\)中，有零散的\(k\)个字母拼起来等于\(p_{1..k}\)，其它的都合法，是否可行。
转移有两种：一种是从\(f_{l,r-1,k-1}\)转移过来，条件是\(s[j]=p[k]\)，就是加上一个零散的元素。
另一种是从\(f_{l,j,k} \ and \ f_{j,r,0}\)，就是在后面拼一个合法的。
然而这样会\(TLE\)。
紧接着我们发现，实际上，\(k=(r-l+1)\mod len\)
所以就可以省去一维，然后就可以\(AC\)了。

代码

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cassert>
#define N 210
inline int gcd(int a,int b){while (b){int k=a%b;a=b;b=k;}return a;
}
int n,nt;
char s[N],t[N],s2[N][N];
int buc[255],b2[255];
int m;
char c[255];
bool beg[N],end[N];
int p[N];
bool f[N][N];
inline bool work(int k,int len){nt=len;for (int i=1;i<=nt;++i)t[i]=s[k+i-1];memset(f,0,sizeof f);for (int i=n;i>=1;--i){f[i][i]=(s[i]==t[1]);for (int j=i+1;j<=n;++j){f[i][j]|=(f[i][j-1]&&s[j]==t[(j-1-i+1)%nt+1]);for (int k=i+(j-i)%nt;k<j && !f[i][j];k+=nt)f[i][j]|=(f[i][k]&&f[k+1][j]);}}return f[1][n];
}
int main(){freopen("string.in","r",stdin);freopen("string.out","w",stdout);int T;scanf("%d",&T);while (T--){scanf("%s",s+1);n=strlen(s+1);memset(buc,0,sizeof buc);for (int i=1;i<=n;++i)buc[s[i]]++;m=0;for (char ch=' '+1;ch<='~';++ch)if (buc[ch])c[++m]=ch;int g=n;for (int i=1;i<=m;++i)g=gcd(g,buc[c[i]]);int l=1,r=n;while (l<n && s[l+1]!=s[1])++l;while (r>1 && s[r-1]!=s[n])--r;memset(beg,0,sizeof beg);memset(end,0,sizeof end);for (int i=1,j;i+l-1<=n;++i){for (j=1;j<=l;++j)if (s[i+j-1]!=s[j])break;if (j<=l)continue;beg[i]=1;}for (int i=n,j;i+r-n>=1;--i){for (j=n;j>=r;--j)if (s[i+j-n]!=s[j])break;if (j>=r)continue;end[i]=1;   }for (int len=max(l,n-r+1);len<=n;++len)if (n%len==0 && g%(n/len)==0){int t=n/len,hg=0;memset(b2,0,sizeof b2);for (int i=1;i<=len;++i)b2[s[i]]++;for (int i=1;i<=m;++i)if (b2[c[i]]*t==buc[c[i]])hg++;int i;for (i=1;i+len-1<=n;++i){if (beg[i] && end[i+len-1] && hg==m){if (work(i,len)){for (int j=i;j<i+len;++j)putchar(s[j]);putchar('\n');break;}}if (b2[s[i]]*t==buc[s[i]])hg--;b2[s[i]]--;if (b2[s[i]]*t==buc[s[i]])hg++;if (b2[s[i+len]]*t==buc[s[i+len]])hg--;b2[s[i+len]]++;if (b2[s[i+len]]*t==buc[s[i+len]])hg++;}if (i+len-1<=n)break;}}return 0;
}

总结

这都想不出来……我真是太菜了……