线段树相关（研究总结，线段树）

线段树是信息学竞赛中的一种常用数据结构，能够很方便的进行区间查找和修改操作。

引入

假设我们现在有一列数，我们需要支持一下操作：

1.修改某个数的值
2.询问一段区间的和

我们很容易想到朴素的做法，用一个数组存下所有的值，如果是修改操作就直接修改，如果是询问就循环统计一遍。但这样效率不高。

或许有人可以想出另外一个算法，就是用前缀和来优化，Sum[i]表示1到i的和，这样方便了询问操作，但对于修改操作，就要修改很多Sum的值，效率同样不高。

怎么办呢？我们可以用线段树解决

线段树

对于下面这个区间

我们可以把其分成两个

再对分出的两个区间进行分离操作
像这样重复操作，我们就可以得到一棵线段树

一些小性质与本文习惯约定

通过观察我们可以发现，如果按从上到下，从左到右的顺序，把每一个区间看作一个点并给其编号，我们可以得出如下规律：

对于每一个节点i，我们假设其代表的区间是[x,y]，定义mid=(x+y)/2，那么，它的左区间[x,mid]的编号就是i*2，而它的右区间[mid+1,y]编号就是i*2+1

为了方便叙述，下面我们称i*2为i的左子节点，i*2+1为i的右子节点
另外，本文中约定线段树的节点编号从1开始

线段树的简单操作

现在有了线段树，但它有什么用呢？
先简单的说一下，假设我们现在要查找[x,y]的和，并且我们现在正好在线段树的这个[x,y]区间，那么我们就可以直接返回这个点上的Sum域（当然要提前确定好，这是可以在建树的时候顺带完成的）
比如说，对于下面这个数组：

我们想建立一棵线段树来处理其任意两点之间的和，那么我们可以这样：
对于每一个线段树的节点，我们维护一个Sum表示当前线段树的节点中覆盖的区间的和，表示出来就是这样：

而由于我们知道线段树的性质是左儿子是i*2而右儿子是i*2+1，所以我们甚至不需要存下对应的左儿子右儿子编号。
首先我们来讲一下查询操作
在本例中，查询是查询一个区间内的值之和，假设当前我们要查询的区间是[l0,r0]，当前我们所在的线段树的节点是now（开始时就是1啦），当前我们所在的线段树节点的左右区间是[l,r]，再定义mid=(l+r)/2，也就是中间结点。
我们定义查询的函数是Query(l0,r0,l,r,now)我们会碰到如下的三种情况：
1.查询区间完全在左区间内（我们用透明的框表示当前所在的线段树区间，用蓝色的框表示我们的查询区间，红色的框代表mid所在）

对于这种情况，我们直接递归地调用查找左子树区间就可以了，即Query(l0,r0,l,mid,now*2)
2.类似的，查询区间完全在右区间内时

递归调用Query(l0,r0,mid+1,now*2+1)
3.稍微复杂一点的就是这第三种情况，查询区间横跨左右

这个时候我们要分别对左区间和右区间进行递归查询并累加Query(l0,mid,l,mid,now*2)+Query(mid+1,r0,mid+1,r,now*+1)
其实还有第四种情况，就是l0==l,r0==r，此时直接返回该区间的Sum值就可以了
总结一下，代码如下：

int Query(int l0,int r0,int l,int r,int now)
{if ((l0==l)&&(r0==r))return T[now].data;//T就是线段树，data就是值域int mid=(l+r)/2;if (l0>=mid+1){return Query(l0,r0,mid+1,r,now*2+1);}elseif (r0<=mid){return Query(l0,r0,l,mid,now*2);}else{return Query(l0,mid,l,mid,now*2)+Query(mid+1,r0,mid+1,r,now*2+1);}
}

然后我们来讲一下修改操作
相对于查询操作，修改操作相对好理解。
同样也是进行递归的操作，若修改的数在左区间，则递归到左子树，否则递归到右子树。
但要注意的是，修改的时候要记得一路修改所有经过的线段树节点的值。

void Updata(int num,int data,int l,int r,int now)//num是我们要修改的数的编号，data是我们要把num修改成什么，l和r分别是当前所在线段树的now节点的左右区间端点
{if (l==r){T[now].data=data;return;}int mid=(l+r)/2;if (num<=mid)Updata(num,data,l,mid,now*2);//分别进入左右子树elseUpdata(num,data,mid+1,r,now*2+1);T[now].data+=data;//注意一路修改
}

在有些题目中，递归调用可能会爆栈，而又因为修改操作的特殊性（它不会涉及到同时操作两个区间），我们可以把递归的方式改成不递归的，，其原理与递归方式一样

void Updata(int num,int data)
{int now=1;int l=1,r=n;do{int mid=(l+r)/2;T[now].data+=data;if (l==r)break;if (num<=mid){r=mid;now=now*2;}else{l=mid+1;now=now*2+1;}}while (1);return;
}

线段树的其他操作

在了解了线段树的基本操作后，相信读者已经对线段树有了基本的了解。
线段树其实还有很多操作，它们都是建立在对线段树的理解上面的，笔者这里仅列出常用的一种，其它的读者可以在遇到相关题目时自行推导。
在上文中，我们讲到了线段树的修改操作，但准确地说，这是线段树的单源修改操作，如果我们要对数列的一段区间的数进行修改呢？（比如说，我们要使得[x,y]中的每一个数都加上一个输入的数）
一种解决方法就是调用(y-x+1)次单源修改操作，但这样时间复杂度太高。
我们回想一下线段树的原理：它是区间的操作。那我们能否把区间修改与区间操作相结合起来呢？
当然可以。我们在每一个线段树的值域中再引入一个Lazy，或者叫做迟缓标记，在我们上面的例子中（即使得[x,y]中的每一个数都加上一个数），它表示的就是在当前线段树节点所覆盖的每一个点上都加上Lazy。
举个例子，现在我们要在一个[1,10]的数列中，给l0=1,r0=5内的所有数都加上1，那么我们在递归修改的时候，首先进入的是l=1,r=10的区间，然后进入l=1,r=5的区间，这是我们发现l0==l且r0==r，所以我们直接给该节点上的Laze+=1。
那么对应的，因为我们加入了迟缓标记，我们就要修改一下查询和修改操作。在每一次进入下一层时，首先要下放当前点中的Lazy标记，因为加入迟缓标记后，该层下面的点都是没有修改的，此时我们要向下查询的话就要临时把Lazy标记中的内容向下传递，这就相当于迟缓了修改操作（现在知道为什么叫迟缓标记了吧）
查询操作：

int Query(int l0,int r0,int l,int r,int now);
{if ((l0==l)&&(r0==r))//如果符合就直接返回{return T[now].data+T[now].Lazy*(l-r+1);}int Lazy=T[now].lazy;//下放Lazy标记T[now].data+=Lazy*(l-r+1);T[now*2].lazy+=Lazy;T[now*2+1].lazy+=Lazy;T[now].lazy=0;int mid=(l+r)/2;if (r0<=mid)//向下递归return Query(l0,r0,l,mid,now*2);elseif (l0>=mid+1)return Query(l0,r0,mid+1,r,now*2+1);elsereturn Query(l0,mid,l,mid,now*2)+Query(mid+1,r0,mid+1,r,now*2+1);
}

修改操作：

void Updata(int l0,int r0,int l,int r,int now,int data)
{if ((l0==l)&&(r0==r)){T[now].lazy=data;return;}int Lazy=T[now].lazy;//向下传递LazyT[now].data+=Lazy*(l-r+1);T[now*2].lazy+=Lazy;T[now*2+1].lazy+=Lazy;T[now].lazy=0;int mid=(l+r)/2;if (r0<=mid)Updata(l0,r0,l,mid,now*2,data);elseif (l0>=mid+1)Updata(l0,r0,mid+1,r,now*2+1,data);else{Updata(l0,mid,l,mid,now*2,data);Updata(mid+1,r0,mid+1,r,now*2+1,data);}return;
}

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