四节点矩形单元

在二维稳态热传导基本方程的有限元求解(1)这篇文章中，我们仅仅给出了有限元单元方程的一种比较标准的推导步骤，并未涉及某种具体的单元。且在式(20)中，单元

上温度

的近似函数表示成节点温度的函数，但是对于具体的一个单元，该如何推导出用节点函数值表达的近似函数呢？接下来以四节点矩形单元为例，并利用Python的Sympy库进行说明。

四节点矩形单元以及节点布置如下图所示。

四节点矩形单元

该单元内的插值函数模式为:

对于现在的情况，单元内的函数值是坐标

，

的双线性函数，

~

为待定系数，称之为广义坐标。将4个节点坐标分别代入式(

)中可得到在相应节点的函数值，用矩阵表示为：

可利用Python的SymPy库来求解

~

，代码如下：

import sympy as sym

a, b = sym.symbols("a, b")

M = sym.Matrix([[1, -a, -b, a*b], [1, a, -b, -a*b],

[1, a, b, a*b], [1, -a, b, -a*b]])

T1, T2, T3, T4 = sym.symbols("T_1, T_2, T_3, T_4")

b = sym.Matrix([T1, T2, T3, T4])

a = M.LUsolve(b)

for i in range(0, len(a)):

a[i] = a[i].together()

x, y = sym.symbols("x, y")

T = a[0] + a[1]*x + a[2]*y + a[3]*x*y

T

执行上述代码后[^1]，得到的结果为：

将式(

)用节点值表示，则可以得到：

其中

~

为形函数，分别为：

读者也可查阅文献[^2][^3]提供的用张量乘的方式推导上式，而不涉及繁琐的计算过程。式(

)也可以通过Python的SymPy库来求解，代码如下：

a, b = sym.symbols("a, b")

M = sym.Matrix([[1, -a, -b, a*b], [1, a, -b, -a*b],

[1, a, b, a*b], [1, -a, b, -a*b]])

T1, T2, T3, T4 = sym.symbols("T_1, T_2, T_3, T_4")

b = sym.Matrix([T1, T2, T3, T4])

a = M.LUsolve(b)

for i in range(0, len(a)):

a[i] = a[i].together()

x, y = sym.symbols("x, y")

T = a[0] + a[1]*x + a[2]*y + a[3]*x*y

T = T.expand()

T = T.collect([T1, T2, T3, T4])

T

执行上述代码后[^1]，得到的结果为：

稍加整理式(

)，便可得到式(

)。此外，式(

)也可以表示为：

有了式(

)，就可以带入到式(

)中，得到单元矩阵

的表达式。为简便，这里假设热传导张量

的分量的矩阵表达为：

同样我们可以借助Sympy来计算

，代码如下：

import sympy as sym

a, b, x, y = sym.symbols("a, b, x, y")

B = sym.Matrix([[-(b-y)/(4*a*b), (b-y)/(4*a*b), (b+y)/(4*a*b), -(b+y)/(4*a*b)],

[-(a-x)/(4*a*b), -(a+x)/(4*a*b), (a+x)/(4*a*b), (a-x)/(4*a*b)]])

dx, dy = sym.symbols("d_x, d_y")

D = sym.Matrix([[dx, 0],

[ 0, dy]])

B_TDB = B.transpose()*D*B

K_e = sym.Matrix(4, 4, lambda m, n: 0)

for i in range(0, len(B_TDB)):

K_e[i] = sym.integrate(B_TDB[i], (x, -a, a), (y, -b, b))

K_e[i] = K_e[i].simplify()

K_e

执行上述代码后得到[^1]：

文献[^4]也同样求解可该单元矩阵的表达式(见下图)，可与式

进行比较(注意

，

)。

单元矩阵的表达式

从式(

)可以看出，如果不借助符号计算系统，是很难通过手算得到单元矩阵的表达式。何况，四节点矩形单元不能适应复杂的几何形状。因此，在实际使用有限元中，更多的还是要利用数值积分和等参元这两种工具，这将在后续的文章中介绍。

[^1]: 这里是在Jupyter Notebook或JupyterLab中执行

[^2]: Jacob Fish, Ted Belytschko. A First Course in Finite Elements. 2007, P161-P163.

[^3]: Young W.Hwon, Hyochoong Bang. The Finite Element Method Using MATLAB(2nd) [M]. 2000, P90-P91.

[^4]: M.Asghar Bhatti. Fundamental Finite Element Analysis and Applications: with Mathematica and Matlab Computations[M]. 2005, P332.