OTSU算法/大津法/最大类间方差法 python实现

1. 介绍

OTSU算法是由日本学者大津于1979年提出的一种对图像进行二值化的高效算法，也称为大津法，最大类间方差法。它根据图像的灰度特性而分为背景和前景两部分，背景和前景之间的像素值波动性越大，说明这两部分的差别越大，反之，差别越小。简而言之，算法根据图像的信息自适应地确定二值化阈值。

2. 算法原理

假设输入图像为灰度图像 III ，图像宽高分别为 www 和 hhh ，灰度级为 LLL 。
则图像包含的像素总数为
N=w×hN=w \times hN=w×h
灰度范围 i=0,1,2,...,L−1i=0,1,2,...,L-1i=0,1,2,...,L−1
根据图像像素数 NNN 和灰度范围 [0,L−1][0,L-1][0,L−1] 求出每个灰度级的概率
Pi=niN,i=0,1,2,...,L−1P_i=\frac{n_i}{N},i=0,1,2,...,L-1Pi=Nni,i=0,1,2,...,L−1
nin_ini表示灰度级i的像素个数。
假设一个阈值 TTT ，我们用这个阈值把图像分为了两类 C0C_0C0 ，C1C_1C1，其中 C0C_0C0 由 [0,T][0,T][0,T] 之间的像素组成，C1C_1C1 由 [T+1,L−1][T+1,L-1][T+1,L−1] 之间的像素组成。
设 N0N_0N0 为小于阈值的像素的个数，N1N_1N1 为大于阈值的像素的个数，则有
N=N0+N1N=N_0+N_1N=N0+N1
定义图像均值为
u=∑i=0L−1iniN=(∑i=0L−1ini)/NN/N=∑i=0L−1iPiu=\frac{\sum_{i=0}^{L-1}in_i}{N}=\frac{(\sum_{i=0}^{L-1}in_i)/N}{N/N}=\sum_{i=0}^{L-1}iP_iu=N∑i=0L−1ini=N/N(∑i=0L−1ini)/N=i=0∑L−1iPi
同理我们可以得到 C0C_0C0 和 C1C_1C1 的均值 u0u_0u0 和 u1u_1u1
u0=∑i=0TiniN0=∑i=0TiPi∑i=0TPi=∑i=0TiPiw0u_0=\frac{\sum_{i=0}^{T}in_i}{N_0}=\frac{\sum_{i=0}^{T}iP_i}{\sum_{i=0}^{T}P_i}=\frac{\sum_{i=0}^{T}iP_i}{w_0}u0=N0∑i=0Tini=∑i=0TPi∑i=0TiPi=w0∑i=0TiPi
u1=∑i=T+1L−1iniN1=∑i=T+1L−1iPi∑i=T+1L−1Pi=∑i=T+1L−1iPiw1u_1=\frac{\sum_{i=T+1}^{L-1}in_i}{N_1}=\frac{\sum_{i=T+1}^{L-1}iP_i}{\sum_{i=T+1}^{L-1}P_i}=\frac{\sum_{i=T+1}^{L-1}iP_i}{w_1}u1=N1∑i=T+1L−1ini=∑i=T+1L−1Pi∑i=T+1L−1iPi=w1∑i=T+1L−1iPi

w0+w1=1w_0+w_1=1w0+w1=1

初看定义图像均值的公式是不是感觉有点云里雾里？又是概率的又是 w0w_0w0 和 w1w_1w1 之类的。但是仔细观察中间步骤，你会发现所谓图像均值 uuu ，其实就是所有像素值之和再除以像素总数。u0u_0u0 和 u1u_1u1也是同理，只是我们换了形式（用概率）表达而已。

由上式我们也可以得到
u=w0u0+w1u1u=w_0u_0+w_1u_1u=w0u0+w1u1
定义类间方差
δ2=w0(u0−u)2+w1(u1−u)2=w0w1(u0−u1)2\delta ^2=w_0(u_0-u)^2+w_1(u_1-u)^2=w_0w_1(u_0-u_1)^2δ2=w0(u0−u)2+w1(u1−u)2=w0w1(u0−u1)2

代入 u=w0u0+w1u1u=w_0u_0+w_1u_1u=w0u0+w1u1 以及 w0+w1=1w_0+w_1=1w0+w1=1 可推出等式右边。

选取合适的阈值 TTT ，使得类间方差δ2\delta ^2δ2最大，则 TTT 为最佳阈值。

像素值小于这个阈值的像素我们设置为0（黑），否则为1（白）。这样我们就得到了二值化图像。

3. Python代码实现

import cv2
import numpy as np# 大津二值化算法
def otsu(gray_img):h = gray_img.shape[0]w = gray_img.shape[1]N = h * wthreshold_t = 0max_g = 0# 遍历每一个灰度级for t in range(256):# 使用numpy直接对数组进行运算n0 = gray_img[np.where(gray_img < t)]n1 = gray_img[np.where(gray_img >= t)]w0 = len(n0) / Nw1 = len(n1) / Nu0 = np.mean(n0) if len(n0) > 0 else 0.u1 = np.mean(n1) if len(n1) > 0 else 0.g = w0 * w1 * (u0 - u1) ** 2if g > max_g:max_g = gthreshold_t = tprint('类间方差最大阈值：', threshold_t)gray_img[gray_img < threshold_t] = 0gray_img[gray_img >= threshold_t] = 255return gray_img# 读入灰度图
gray_img = cv2.imread('lena.jpg', 0)
otsu_img = otsu(gray_img)
ret, threshold = cv2.threshold(gray_img, 0, 255, cv2.THRESH_BINARY + cv2.THRESH_OTSU)
print(np.all(otsu_img == threshold))  # ture，说明和opencv底层实现的大津法效果一致
cv2.imshow('otsu_img ', otsu_img)
cv2.imshow("opencv-python otsu_img", threshold)cv2.waitKey(0)
cv2.destroyAllWindows()

参考：

大津二值化算法OTSU的理解
详细及易读懂的大津法（OTSU）原理和比opencv自带更快的算法实现