什么是集合

A set is a group of objects. (simplest way)
By a set we mean any collection M into a whole of definite distinct
objects m (which we called elements of M) of our perception or of our
thought. (Cantor’s way)
集合是由指定范围内的满足给定条件的所有对象聚集在一起构成，每一个对象称为这个集合的元素。(In chinese)
外延公理 + 空集存在公理 + 无序对公理 + 并集公理 + 幂集公理 + 无穷公理 + 替换公理 + 正则公理 + 选择公理。(ZFC
公理化集合论)

集合的符号表示

通常情况下

用带或不带下标的大写英文字母表示集合: A,B,C,⋯,A1,B1,C1,⋯A, B, C, \cdots, A_{1}, B_{1}, C_{1}, \cdotsA,B,C,⋯,A1,B1,C1,⋯
用带或不带下标的小写英文字母表示元素: a,b,c,⋯,a1,b1,c1,⋯a, b, c, \cdots, a_{1}, b_{1}, c_{1}, \cdotsa,b,c,⋯,a1,b1,c1,⋯

常用集合

自然数集合 N:0,1,2,3,⋯\mathrm{N}: 0,1,2,3, \cdotsN:0,1,2,3,⋯
整数集合 Z:⋯,−2,−1,0,1,2,⋯\mathrm{Z}: \cdots,-2,-1,0,1,2, \cdotsZ:⋯,−2,−1,0,1,2,⋯
有理数集合 QQQ 与实数集合 RRR，等等。

属于关系

若 aaa 是集合 AAA 中的元素，则称 aaa属于 AAA, 记为 a∈Aa \in Aa∈A
若 aaa 不是集合 AAA 中的元素，则称 aaa不属于AAA，记为 a∉Aa \notin Aa∈/A

Example

2∈N2 \in N2∈N
−2∉N-2 \notin N−2∈/N
23∈Q\frac{2}{3} \in Q32∈Q 但 π∉Q\pi \notin Qπ∈/Q

枚举法

列出集合中的全部元素或者仅列出一部分元素，其余用省略号 (· · ·) 表示。

Example

A={a,b,c,d}A=\{a, b, c, d\}A={a,b,c,d}
B={2,4,6,8,10,⋯}B=\{2,4,6,8,10, \cdots\}B={2,4,6,8,10,⋯}

叙述法

通过刻画集合中元素所具备的某种性质或特性来表示一个集合。

P={x∣P(x)}P =\{x|P(x)\}P={x∣P(x)}

Example

A={x∣xA=\{x \mid xA={x∣x 是英文字母中的元音字母 }\}}
B={x∣x∈Z,x<10}B=\{x \mid x \in Z, x<10\}B={x∣x∈Z,x<10}
C={x∣x=2k,k∈N}C=\{x \mid x=2 k, k \in N\}C={x∣x=2k,k∈N}

文氏图

文氏图是利用平面上的点来做成对集合的图解方法。一般使用平面上的方形或圆形表示一个集合，而使用平面上的一个小圆点来表示集合的元素。

Example

基数

集合 AAA 中的元素个数称为集合的基数(base number)，记为 ∣A\mid A∣A
若一个集合的基数是有限的，称该集合为有限集(finite set)
若一个集合的基数是无限的，称该集合为无限集(infinite set)

Example

A={a,b,c},∣A∣=3A=\{a, b, c\},|A|=3A={a,b,c},∣A∣=3
B={a,{b,c}},∣B∣=2B=\{a,\{b, c\}\},|B|=2B={a,{b,c}},∣B∣=2

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常用集合

属于关系

枚举法

叙述法

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