级数收敛性

给定复数级数
∑n=0∞un=u0+u1+u2+⋯\sum_{n=0}^{\infty} u_{n}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\cdots n=0∑∞un=u0+u1+u2+⋯
如果它的部分和
Sn=u0+u1+u2+⋯+unS_{n}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n} Sn=u0+u1+u2+⋯+un
所构成的序列 {Sn}\left\{S_{n}\right\}{Sn} 收敛，则称级数 ∑un\sum u_{n}∑un 收敛，而序列 {Sn}\left\{S_{n}\right\}{Sn} 的极限 S=lim⁡n→∞SnS=\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}S=limn→∞Sn，称为级数 ∑un\sum u_{n}∑un 的和；否则，级数 ∑un\sum u_{n}∑un 是发散的。复数项级数∑k=0∞fk\sum_{k=0}^{\infty} f_{k}∑k=0∞fk可以归结为两个实数项级数的和。
∑k=0∞fk=∑k=0∞uk+i∑k=0∞vk⟶收敛于 F=u+iv\sum_{k=0}^{\infty} f_{k}=\sum_{k=0}^{\infty} u_{k}+i \sum_{k=0}^{\infty} v_{k} \stackrel{\text { 收敛于 }}{\longrightarrow} F=u+i v k=0∑∞fk=k=0∑∞uk+ik=0∑∞vk⟶ 收敛于 F=u+iv
如果级数 ∑n=0∞∣un∣\sum_{n=0}^{\infty}\left|u_{n}\right|∑n=0∞∣un∣ 收敛，则称级数 ∑n=0∞un\sum_{n=0}^{\infty} u_{n}∑n=0∞un 绝对收敛，收敛而非绝对收敛的级数称为条件收敛。

一致收敛：任意给定的 ε>0\varepsilon>0ε>0，存在与 zzz 无关的 KKK，使得当 k>Kk>Kk>K 时，对于每一点 z∈Dz \in Dz∈D 都有 ∣F(z)−Fk(z)∣<ε\left|F(z)-F_{k}(z)\right|<\varepsilon∣F(z)−Fk(z)∣<ε，则称级数∑k=0∞fk(z)\sum_{k=0}^{\infty} f_{k}(z)∑k=0∞fk(z) 在 DDD 内一致收敛。

收敛性的判定

比较判别法 - 绝对收敛

若 ∃N∈N\exists N \in \mathbb{N}∃N∈N，对 ∀n>N\forall n>N∀n>N，都有 ∣un∣<vn\left|u_{n}\right|<v_{n}∣un∣<vn，而 ∑n=0∞vn\sum_{n=0}^{\infty} v_{n}∑n=0∞vn 收敛，则 ∑n=0∞∣un∣\sum_{n=0}^{\infty}\left|u_{n}\right|∑n=0∞∣un∣ 收敛，即 ∑n=0∞un\sum_{n=0}^{\infty} u_{n}∑n=0∞un 绝对收敛。若 ∣un∣>vn>0\left|u_{n}\right|>v_{n}>0∣un∣>vn>0，而 ∑n=0∞vn\sum_{n=0}^{\infty} v_{n}∑n=0∞vn 发散，则 ∑n=0∞∣un∣\sum_{n=0}^{\infty}\left|u_{n}\right|∑n=0∞∣un∣ 发散。

比值判别法 - 绝对收敛

若存在与 nnn 无关的常数 ρ\rhoρ，则当 ∣un+1/un∣<ρ<1\left|u_{n+1} / u_{n}\right|<\rho<1∣un+1/un∣<ρ<1 时，级数 ∑n=0∞un\sum_{n=0}^{\infty} u_{n}∑n=0∞un 绝对收敛；当 ∣un+1/un∣>ρ>1\left|u_{n+1} / u_{n}\right|>\rho>1∣un+1/un∣>ρ>1 时，级数 ∑n=0∞un\sum_{n=0}^{\infty} u_{n}∑n=0∞un 发散。

达朗贝尔(d’Alembert) 判别法 - 绝对收敛

若 lim⁡n→∞∣un+1/un∣<1\lim_{n \rightarrow \infty}\left|u_{n+1} / u_{n}\right|<1limn→∞∣un+1/un∣<1，则级数 ∑n=0∞un\sum_{n=0}^{\infty} u_{n}∑n=0∞un 绝对收敛；若 lim⁡n→∞∣un+1/un∣>1\lim_{n \rightarrow \infty}\left|u_{n+1} / u_{n}\right|>1limn→∞∣un+1/un∣>1，则 ∑n=0∞un\sum_{n=0}^{\infty} u_{n}∑n=0∞un 发散。
若 lim⁡n→∞∣un+1/un∣=1\lim _{n \rightarrow \infty}\left|u_{n+1} / u_{n}\right|=1limn→∞∣un+1/un∣=1，则 ∑n=0∞un\sum_{n=0}^{\infty} u_{n}∑n=0∞un 的绝对收敛性需要利用下面的 Gauss 判别法进一步检验。

收敛半径：R=lim⁡n→∞∣unun+1∣R=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{n}}{u_{n+1}}\right|R=limn→∞∣∣∣un+1un∣∣∣

柯西-阿达马(Cauchy-Hadamard) 判别法 - 绝对收敛

对∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}u_n∑n=1∞un，若 lim⁡n→∞∣un∣n=r\lim_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n]{\left|u_{n}\right|}=rlimn→∞n∣un∣=r，则当r<1r<1r<1，级数 ∑n=0∞un\sum_{n=0}^{\infty} u_{n}∑n=0∞un 绝对收敛；当r>1r>1r>1，级数 ∑n=0∞un\sum_{n=0}^{\infty} u_{n}∑n=0∞un 发散；当r=1r=1r=1，敛散性无法判定。

收敛半径为：R=lim⁡n→∞1∣un∣R=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{\sqrt{\left|u_{n}\right|}}R=limn→∞∣un∣1

达朗贝尔判别法与柯西判别法都遇到了问题，必须用更高级的判别法–高斯(Gauss)判别法

Gauss 判别法 - 绝对收敛

设级数 ∑n=0∞un\sum_{n=0}^{\infty} u_{n}∑n=0∞un 邻项的比值可以写成
unun+1=1+μn+O(n−λ)\frac{u_{n}}{u_{n+1}}=1+\frac{\mu}{n}+O\left(n^{-\lambda}\right) un+1un=1+nμ+O(n−λ)
其中 λ>1\lambda>1λ>1，若 Reμ>1Re \ \mu>1Re μ>1，则级数 ∑n=0∞un\sum_{n=0}^{\infty} u_{n}∑n=0∞un 绝对收敛；若 Reμ≤1Re \ \mu \leq1Re μ≤1，则 ∑n=0∞∣un∣\sum_{n=0}^{\infty}\left|u_{n}\right|∑n=0∞∣un∣ 发散。

魏尔斯特拉斯 M-判别法/优级数准则 - 一致收敛

如果有正数列 Mn(n=0,1,2,⋯)M_{n}(n=0,1,2, \cdots)Mn(n=0,1,2,⋯)，对一切 z∈Ez \in Ez∈E 均有
∣fn(z)∣⩽Mn,n=0,1,2,⋯\left|f_{n}(z)\right| \leqslant M_{n}, \quad n=0,1,2, \cdots ∣fn(z)∣⩽Mn,n=0,1,2,⋯
且正项级数 ∑n=0∞Mn\sum_{n=0}^{\infty} M_{n}∑n=0∞Mn 收敛，则 ∑n=0∞fn(z)\sum_{n=0}^{\infty} f_{n}(z)∑n=0∞fn(z) 在 EEE 上绝对收敛且一致收敛。这样的正项级数 ∑n=0∞Mn\sum_{n=0}^{\infty} M_{n}∑n=0∞Mn 称为复函数项级数 ∑n=0∞fn(z)\sum_{n=0}^{\infty} f_{n}(z)∑n=0∞fn(z) 的强级数(或优级数)。

Cauchy 判据 - 一致收敛

级数的收敛性，完全等价于其部分和序列的收敛性。因此，根据序列收敛的充要条件，可以写出无穷级数收敛的 Cauchy 充要条件: ∀ε>0,∃\forall \varepsilon>0, \exists∀ε>0,∃ 正整数 nnn，使对于任意正整数 ppp，有
∣un+1+un+2+⋯+un+p∣<ε. \left|u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots+u_{n+p}\right|<\varepsilon \text {. } ∣un+1+un+2+⋯+un+p∣<ε.
令 p=1p=1p=1，则可以得到级数收敛的必要条件：
lim⁡n→∞un=0.\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=0 . n→∞limun=0.

绝对收敛和一致收敛

绝对收敛：一般用来描述无穷级数或无穷积分的收敛情况。如果级数 ΣUn\Sigma U_{n}ΣUn 各项的绝对值所构成的级数 Σ∣Un∣\Sigma\left|U_{n}\right|Σ∣Un∣ 收敛，则称级数 ΣUn\Sigma U_{n}ΣUn 绝对收敛。

一致收敛：任意给定的 ε>0\varepsilon>0ε>0，存在与 zzz 无关的 KKK，使得当 k>Kk>Kk>K 时，对于每一点 z∈Dz \in Dz∈D 都有 ∣F(z)−Fk(z)∣<ε\left|F(z)-F_{k}(z)\right|<\varepsilon∣F(z)−Fk(z)∣<ε，则称级数∑k=0∞fk(z)\sum_{k=0}^{\infty} f_{k}(z)∑k=0∞fk(z) 在 DDD 内一致收敛。

一致收敛的判定方法：Cauchy判据(充要条件)、

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