考研数学：常见的的泰勒公式

ex=1+x1!+x22!+⋯+xnn!+O(xn)sin⁡x=x−x33!+x55!+⋯+(−1)m−1x2m−1(2m−1)!+O(x2m)cos⁡x=1−x22!+x44!+⋯+(−1)mx2m(2m)!+O(x2m+1)(1+x)m=1+mx+m(m−1)2!x2+⋯+m(m−1)⋯(m−n+1)1∗2∗⋯n+O(x(n))ln⁡(1+x)=x−x22+x33+⋯+(−1)n−1xnn+O(xn)arctan⁡x=x−x33+x55−⋯+(−1)m−1x2m−12m−1+O(x2m)tan⁡x=x+x33+O(x4)arcsin⁡x=x+x36+3x48+O(x4)arccos⁡x=π−(x+x36+o(x3))\begin{aligned} &e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+{\cdots}+\frac{x^{n}}{n!}+O(x^n)\\ &\sin{x}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+{\cdots}+(-1)^{m-1}\frac{x^{2m-1}}{(2m-1)!}+O(x^{2m})\\ &\cos{x}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+{\cdots}+(-1)^{m}\frac{x^{2m}}{(2m)!}+O(x^{2m+1})\\ &(1+x)^m=1+mx+{\frac{m(m-1)}{2!}}x^2+{\cdots}+\frac{m(m-1){\cdots}(m-n+1)}{1*2*\cdots{n}}+O(x^(n))\\ &\ln{(1+x)}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+{\cdots}+(-1)^{n-1}{\frac{x^{n}}{n}}+O(x^n) \\ &\arctan{x}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-{\cdots}+(-1)^{m-1}{\frac{x^{2m-1}}{2m-1}}+O(x^{2m})\\ &\tan{x}=x+\frac{x^3}{3}+O(x^4)\\ &\arcsin{x}=x+\frac{x^3}{6}+\frac{3x^4}{8}+O(x^{4})\\ &\arccos{x}=\pi-(x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)) \end{aligned} ex=1+1!x+2!x2+⋯+n!xn+O(xn)sinx=x−3!x3+5!x5+⋯+(−1)m−1(2m−1)!x2m−1+O(x2m)cosx=1−2!x2+4!x4+⋯+(−1)m(2m)!x2m+O(x2m+1)(1+x)m=1+mx+2!m(m−1)x2+⋯+1∗2∗⋯nm(m−1)⋯(m−n+1)+O(x(n))ln(1+x)=x−2x2+3x3+⋯+(−1)n−1nxn+O(xn)arctanx=x−3x3+5x5−⋯+(−1)m−12m−1x2m−1+O(x2m)tanx=x+3x3+O(x4)arcsinx=x+6x3+83x4+O(x4)arccosx=π−(x+6x3+o(x3))

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