求最大公约数的4种常用算法

一、问题描述：
运行最大公约数的常用算法

二、问题分析与设计：
1.辗转相除法（又名欧几里德法）

①函数嵌套调用

其算法过程为：前提：设两数为a,b设其中a 做被除数,b做除数，temp为余数
1、大数放a中、小数放b中；
2、求a/b的余数；
3、若temp=0则b为最大公约数；
4、如果temp!=0则把b的值给a、temp的值给a；
5、返回第二步；

代码：

#include<iostream>
using namespace std;
int divisor(int a,int b)           //自定义函数求最大公约数
{int temp;                   //整形零时变量if(a<b)                     //a<b 则交换 {temp=a;a=b;b=temp;}while(b!=0){temp=a%b;              //a中大数除以b中小数循环取余，直到b及余数为0a=b;b=temp;}return a;                  //返回最大公约数到调用函数处
}
int multipile(int a,int b)         //自定义函数求最小公倍数
{int divisor(int a,int b);       //自定义函数返回值类型int temp;temp=divisor(a,b);          //再次调用自定义函数，求出最大公约数return(a*b/temp);           //返回最小公倍数到主调函数处进行输出
}
int main()
{int m,n,t1,t2;printf("请输入两个整形数字：");scanf("%d%d",&m,&n);if(m<0||n<0||(m-(int)m)>0||(n-(int)n)>0){    printf("请重新输入正确整数：");cin.clear();                //清除错误标记，重新打开输入流cin.sync ();scanf("%d%d",&m,&n);}t1=divisor(m,n);t2=multipile(m,n);printf("最大公因数为：%d\n",t1);printf("最小公倍数为：%d\n",t2);return 0;
}

测试及测试代码与平均运行时间：
测试代码：

#include<stdio.h>
#include<time.h>
#include<stdlib.h>
int divisor(int a,int b)
{int temp;if(a<b){temp=a;a=b;b=temp;}while(b!=0){temp=a%b;a=b;b=temp;}return a;
}
void main()
{int m[5000],n[5000],t1,i;clock_t start,finish;double duration;time_t t=time(NULL);srand(t);for(i=0;i<5000;i++){m[i]=rand()%100;n[i]=rand()%100;}start=clock();for(i=0;i<5000;i++){t1=divisor(m[i],n[i]);printf("%d  %d  %d\n",m[i],n[i],t1);}finish=clock();duration=(double)(finish-start)/5000;       //平均运行时间printf("%f milliseconds\n",duration);}

②函数递归调用

#include<iostream>
#include<time.h>
using namespace std;
int gcd(int a,int b)                 //自定义函数求最大公约数
{if(a%b==0)                    //终止条件return b;                   //b及为最大公约数elsereturn gcd(b,a%b);
}
int main()
{int m,n,t1;printf("请输入两个整形数字：");scanf("%d%d",&m,&n);if(m<0||n<0||(m-(int)m)>0||(n-(int)n)>0)  //判断输入两数字是否小于零或为小数{   printf("请重新输入正确整数：");cin.clear();            //清除错误标记，重新打开输入流cin.sync ();scanf("%d%d",&m,&n);}t1=gcd(m,n);printf("最大公因数为：%d\n",t1);printf("最小公倍数为：%d\n",m*n/t1);return 0;
}

测试及测试代码与平均运行时间：
测试代码：

#include<stdio.h>
#include<time.h>
#include<stdlib.h>
int gcd(int a,int b)
{if(a%b==0)return b;elsereturn gcd(b,a%b);
}
void main()
{int m[2000],n[2000],t1,i;clock_t start,finish;double duration;time_t t=time(NULL);srand(t);for(i=0;i<2000;i++){m[i]=rand()%100;n[i]=rand()%100;}start=clock();for(i=0;i<2000;i++){t1=gcd(m[2000],n[2000]);printf("%d  %d  %d  %d\n",m[i],n[i],t1);}finish=clock();duration=(double)(finish-start)/2000;       //平均运行时间printf("%f seconds\n",duration);}

流程图

2.穷举法（也称枚举法）利用数学定义

穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤：从两个数中较小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数。

定义1：对两个正整数a,b如果能在区间[a,0]或[b,0]内能找到一个整数temp能同时被a和b所整除，则temp即为最大公约数。
定义2：对两个正整数a,b,如果若干个a之和或b之和能被b所整除或能被a所整除，则该和数即为所求的最小公倍数。
代码：

#include<iostream>
using namespace std;
int divisor(int a,int b)         //自定义函数求两数的最大公约数
{int temp;temp=(a>b)?b:a;         //采用条件运算表达式求出两个数中的最小值while(temp>0){if(a%temp==0&&b%temp==0)     //只要找到一个数能同时被a,b所整除，则中止循环break;temp--;                        //如不满足if条件则变量自减，直到能被a,b所整除}return(temp);                      //返回满足条件的数到主调函数处
}
int multiple(int a,int b)
{int p,q,temp;p=(a>b)?a:b;                     //求两个数中的最大值q=(a>b)?b:a;                     //求两个数中的最小值temp=p;                        //最大值赋给p为变量自增作准备while(1)                        //利用循环语句来求满足条件的数值{if(p%q==0)break;                  //只要找到变量的和数能被a或b所整除，则中止循环p+=temp;                   //如果条件不满足则变量自身相加}return(p);
}
int main()
{int m,n,t1,t2;printf("请输入两个整形数字：");scanf("%d%d",&m,&n);if(m<0||n<0||(m-(int)m)>0||(n-(int)n)>0){    printf("请重新输入正确整数：");cin.clear();                 //清除错误标记，重新打开输入流cin.sync ();scanf("%d%d",&m,&n);}t1=divisor(m,n);t2=multiple(m,n);printf("最大公因数为：%d\n",t1);printf("最小公倍数为：%d\n",t2);return 0;
}

测试及测试代码与平均运行时间：
测试代码：

#include<stdio.h>
#include<time.h>
#include<stdlib.h>
int divisor(int a,int b)
{int temp;temp=(a>b)?b:a;while(temp>0){if(a%temp==0&&b%temp==0)break;temp--;}return(temp);
}
void main()
{int m[5000],n[5000],t1,i;clock_t start,finish;double duration;time_t t=time(NULL);srand(t);for(i=0;i<5000;i++){m[i]=rand()%100;n[i]=rand()%100;}start=clock();for(i=0;i<5000;i++){t1=divisor(m[i],n[i]);printf("%d  %d  %d\n",m[i],n[i],t1);}finish=clock();duration=(double)(finish-start)/5000;       //平均运行时间printf("%f seconds\n",duration);
}

流程图

3. 更相减损法

更相减损术，是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”
翻译成现代语言如下：
第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。
则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。
其中所说的“等数”，就是最大公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法。所以更相减损法>也叫等值算法。

代码：

#include<iostream>
#include<math.h>
using namespace std;
int gcd(int m,int n)                //求最大公约数
{int i=0,temp,x;while(m%2==0 && n%2==0)     //判断m和n能被多少个2整除(i个){m/=2;n/=2;i+=1;}if(m<n)                       //m保存大的值{temp=m;m=n;n=temp;}while(x){x=m-n;                     //{ 以较大的数减较小的数，m=(n>x)?n:x;             n=(n<x)?n:x;                //接着把所得的差与较小的数比较，if(n==(m-n))                //并以大数减小数。}break;}if(i==0)return n;else return (int )pow(2,i)*n;
}
int main()
{int m,n,t1;printf("请输入两个整形数字：");scanf("%d%d",&m,&n);if(m<0||n<0||(m-(int)m)>0||(n-(int)n)>0)  //判断输入两数字是否小于零或为小数{   printf("请重新输入正确整数：");cin.clear();                        //清除错误标记，重新打开输入流cin.sync ();scanf("%d%d",&m,&n);}t1=gcd(m,n);printf("最大公因数为：%d\n",t1);printf("最小公倍数为：%d\n",m*n/t1);return 0;
}

测试及测试代码与平均运行时间：
测试代码：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<time.h>
#include<stdlib.h>
int gcd(int m,int n)         //求最大公约数
{int i=0,temp,x;while(m%2==0 && n%2==0)  //判断m和n能被多少个2整除(i个){m/=2;n/=2;i+=1;}if(m<n)     //m保存大的值{temp=m;m=n;n=temp;}while(x){x=m-n;                     //{以较大的数减较小的数，m=(n>x)?n:x;               n=(n<x)?n:x;               //接着把所得的差与较小的数比较，if(n==(m-n))               //并以大数减小数。}break;}if(i==0)return n;else return (int )pow(2,i)*n;
}
void main()
{int m[2000],n[2000],t1,i;clock_t start,finish;double duration;time_t t=time(NULL);srand(t);for(i=0;i<2000;i++){m[i]=rand()%100;n[i]=rand()%100;}start=clock();for(i=0;i<2000;i++){t1=gcd(m[i],n[i]);printf("%d  %d  %d\n",m[i],n[i],t1);}finish=clock();duration=(double)(finish-start)/2000;       //平均运行时间printf("%f seconds\n",duration);
}

流程图：

4.Stein算法

Stein算法由J. Stein 1961年提出，这个方法也是计算两个数的最大公约数。来研究一下最大公约数的性质，发现有 gcd( kx,ky ) = kgcd( x,y ) 这么一个非常好的性质。
试取 k=2，则有 gcd( 2x,2y ) = 2 * gcd( x,y )。很快联想到将两个偶数化小的方法。
那么一奇一个偶以及两个奇数的情况如何化小呢？
先来看看一奇一偶的情况：设有2x和y两个数，其中y为奇数。因为y的所有约数都是奇数，所以 a = gcd( 2x,y ) 是奇数。
根据2x是个偶数不难联想到，a应该是x的约数。
我们来证明一下：
(2x)%a=0，设2x=na，因为a是奇数，2x是偶数，则必有n是偶数。
又因为 x=(n/2)*a，所以 x%a=0，即a是x的约数。
因为a也是y的约数，所以a是x和y的公约数，有 gcd( 2x,y ) <= gcd( x,y )。
因为gcd( x,y )明显是2x和y的公约数，又有gcd( x,y ) <= gcd( 2x,y )，
所以 gcd( 2x,y ) = gcd( x,y )。
至此，我们得出了一奇一偶时化小的方法。

再来看看两个奇数的情况：
设有两个奇数x和y，不妨设x>y，注意到x+y和x-y是两个偶数，
则有gcd( x+y,x-y ) = 2 * gcd( (x+y)/2,(x-y)/2 )，
那么 gcd( x,y ) 与 gcd( x+y,x-y ) 以及 gcd( (x+y)/2,(x-y)/2 ) 之间是不是有某种联系呢？
为了方便设 m=(x+y)/2 ，n=(x-y)/2 ，容易发现 m+n=x ，m-n=y 。
设 a = gcd( m,n )，则 m%a=0,n%a=0 ，
所以 (m+n)%a=0，(m-n)%a=0 ，即 x%a=0 ，y%a=0 ，
所以a是x和y的公约数，有 gcd( m,n )<= gcd(x,y)。
再设 b = gcd( x,y )肯定为奇数，则 x%b=0,y%b=0 ，
所以 (x+y)%b=0 ，(x-y)%b=0 ，
又因为x+y和x-y都是偶数，跟前面一奇一偶时证明a是x的约数的方法相同，
有 ((x+y)/2)%b=0,((x-y)/2)%b=0 ，即 m%b=0 ，n%b=0 ，
所以b是m和n的公约数，有 gcd( x,y ) <= gcd( m,n )。
所以 gcd( x,y ) = gcd( m,n ) = gcd( (x+y)/2,(x-y)/2 )。

*整理一下，对两个正整数 x>y ：
1.均为偶数 gcd( x,y ) =2gcd( x/2,y/2 )；
2.均为奇数 gcd( x,y ) = gcd( (x+y)/2,(x-y)/2 )；
2.x奇y偶 gcd( x,y ) = gcd( x,y/2 )；
3.x偶y奇 gcd( x,y ) = gcd( x/2,y ) 或 gcd( x,y )=gcd( y,x/2 )；
现在已经有了递归式，还需要再找出一个退化情况。注意到 gcd( x,x ) = x ，就用这个。

①函数非递归调用

#include<iostream>
using namespace std;
int Stein( unsigned int x, unsigned int y )         //函数非递归调用
{     int factor = 0;                           //返回最大公约数x和y int temp;if ( x < y ){ temp = x;x = y;y = temp;}if ( 0 == y ){return 0;}while ( x != y ){                                      //当x时偶数时 if ( x & 0x1 ){if ( y & 0x1 ){                               //当x和y都是偶数时     y = ( x - y ) >> 1;x -= y;}else{                                //当x是偶数，y是奇数     y >>= 1;}}else{                                    //当x是奇数 if ( y & 0x1 ){x >>= 1;if ( x < y ){temp = x;x = y;y = temp;}}else{                                //当x和y都是奇数 x >>= 1;y >>= 1;++factor;}}}return ( x << factor );
}
int main()
{int m,n,t1;printf("请输入两个整形数字：");scanf("%d%d",&m,&n);if(m<0||n<0||(m-(int)m)>0||(n-(int)n)>0)        //判断输入两数字是否小于零或为小数{ printf("请重新输入正确整数：");cin.clear();                            //清除错误标记，重新打开输入流cin.sync ();scanf("%d%d",&m,&n);}t1=Stein(m,n);printf("最大公因数为：%d\n",t1);return 0;
}

测试及测试代码与平均运行时间：
测试代码：

#include<stdio.h>
#include<time.h>
#include<stdlib.h>
int Stein( unsigned int x, unsigned int y )/* return the greatest common divisor of x and y */
{int factor = 0;int temp;if ( x < y ){temp = x;x = y;y = temp;}if ( 0 == y ){return 0;}while ( x != y ){if ( x & 0x1 ){/* when x is odd */if ( y & 0x1 ){/* when x and y are both odd */y = ( x - y ) >> 1;x -= y;}else{/* when x is odd and y is even */y >>= 1;}}else{/* when x is even */if ( y & 0x1 ){/* when x is even and y is odd */x >>= 1;if ( x < y ){temp = x;x = y;y = temp;}}else{/* when x and y are both even */x >>= 1;y >>= 1;++factor;}}}return ( x << factor );
}
void main()
{int m[2000],n[2000],t1,i;clock_t start,finish;double duration;time_t t=time(NULL);srand(t);for(i=0;i<2000;i++){m[i]=rand()%100;n[i]=rand()%100;}start=clock();for(i=0;i<2000;i++){t1=Stein(m[2000],n[2000]);printf("%d  %d  %d  %d\n",m[i],n[i],t1);}finish=clock();duration=(double)(finish-start)/20000;       //平均运行时间printf("%f seconds\n",duration);}

②函数递归调用

#include<iostream>
using namespace std;
int gcd(int u,int v)
{if (u == 0) return v;if (v == 0) return u;// 寻找两个数的最大公约数if (~u & 1)                        // u是偶数{if (v & 1)                     // v是奇数return gcd(u >> 1, v);else                            // u和v都是偶数return gcd(u >> 1, v >> 1) << 1;}if (~v & 1)                         // u是奇数, v是偶数return gcd(u, v >> 1);// 减少较大的变量if (u > v)return gcd((u - v) >> 1, v);return gcd((v - u) >> 1, u);
}
int main()
{int m,n,t1;printf("请输入两个整形数字：");scanf("%d%d",&m,&n);if(m<0||n<0||(m-(int)m)>0||(n-(int)n)>0)     //判断输入两数字是否小于零或为小数{    printf("请重新输入正确整数：");cin.clear();                              //清除错误标记，重新打开输入流cin.sync ();scanf("%d%d",&m,&n);}t1=gcd(m,n);printf("最大公因数为：%d\n",t1);return 0;
}

测试及测试代码与平均运行时间：
测试代码：

#include<stdio.h>
#include<time.h>
#include<stdlib.h>
int gcd(int u,int v)
{if (u == 0) return v;if (v == 0) return u;if (~u & 1) {if (v & 1) return gcd(u >> 1, v);else return gcd(u >> 1, v >> 1) << 1;}if (~v & 1) return gcd(u, v >> 1);if (u > v)return gcd((u - v) >> 1, v);return gcd((v - u) >> 1, u);
}
void main()
{int m[5000],n[5000],t1,i;clock_t start,finish;double duration;time_t t=time(NULL);srand(t);for(i=0;i<5000;i++){m[i]=rand()%100;n[i]=rand()%100;}start=clock();for(i=0;i<5000;i++){t1=gcd(m[i],n[i]);printf("%d  %d  %d\n",m[i],n[i],t1);}finish=clock();duration=(double)(finish-start)/5000;       //平均运行时间printf("%f seconds\n",duration);
}

流程图：

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