Making the Grade G

题意：

一个农夫需要修路，每一段路的海拔为 A i A_i Ai，修改后的海拔为 B i B_i Bi，花费为 ∣ A i − B i ∣ |A_i-B_i| ∣Ai−Bi∣，现在农夫想把 A 1 , A 2 . . . . . A n A_1,A_2.....A_n A1,A2.....An的海拔改成单调的，问最少花费多少？

思路：

此题需要先推导一个结论，就是修改完后的序列里的每个数 B i B_i Bi一定是原序列 A A A中已经存在过的。
以把序列改成非严格单调递增的为例，来证明。
改成非严格单调递减序列也是同样的证法。
证明：(数学归纳法)
n = 1 n=1 n=1，一定成立
对于 n = k − 1 n=k-1 n=k−1，假设一定成立
对于 n = k n=k n=k，此时如果 A n ≥ B n − 1 A_n≥B_{n-1} An≥Bn−1，那么显然 B n B_n Bn用 A n A_n An花费为0，结论成立。
此时如果 A n < B n − 1 A_n<B_{n-1} An<Bn−1,那么显然 B n B_n Bn有两种选择
选择一要么是继续沿用 B n − 1 B_{n-1} Bn−1
选择二要么是把当前的 B n B_n Bn下调为 x x x，并且前面构造好的 B i B_i Bi都要下调，把 B 1 , B 2 . . . B n − 1 B_1,B_2...B_{n-1} B1,B2...Bn−1都要变成 x x x最小，如果前面这些数改成比 x x x更小的数，花费更小的话，那么在 k = n − 1 k=n-1 k=n−1时，就会执行，而不是等到 k = n k=n k=n时，所以此时就是选择一个 x x x使得 ∣ x − A 1 ∣ + ∣ x − A 2 ∣ + . . . . . + ∣ x − A n ∣ |x-A_1|+|x-A_2|+.....+|x-A_n| ∣x−A1∣+∣x−A2∣+.....+∣x−An∣价值最小，众所周知，这是绝对值函数取最小值， x x x取这个序列的中位数即可，所以结论成立。
在知道结论的情况下，就可以定义状态方程 f ( i , j ) f(i,j) f(i,j)序列 A 1 . . . . A i A_1....A_i A1....Ai为止，第 i i i个数 B i B_i Bi选择的时升序(降序)排序后序列里的第 j j j个数
所以此时 f ( i , j ) = m i n ( f ( i − 1 , k ) + ∣ A i − B k ∣ ) f(i,j)=min(f(i-1,k)+|A_i-B_k|) f(i,j)=min(f(i−1,k)+∣Ai−Bk∣) ( 1 ≤ k ≤ j ) (1≤k≤j) (1≤k≤j),里面的 f ( i − 1 , k ) f(i-1,k) f(i−1,k)可以通过在算 f ( i , j ) f(i,j) f(i,j)的时候，也同时取出来，所以只需时间复杂度 O ( N 2 ) O(N^2) O(N2)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 2222;
int f[N][N];
int n, a[N];
int b[N];
int c[N];
signed main() {cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> a[i];b[i] = a[i];}int cnt = 0;sort(b + 1, b + n + 1);for (int i = 1; i <= n; i++) {if (i == 1 || b[i] != b[i - 1]) {++cnt;}c[cnt] = b[i];}for (int i = 1; i <= n; i++) {int minv = f[i - 1][1];for (int j = 1; j <= cnt; j++) {minv = min(minv, f[i - 1][j]);f[i][j] = minv + abs(c[j] - a[i]);}}int res = f[n][1];for (int i = 2; i <= cnt; i++) {res = min(res, f[n][i]);}reverse(a + 1, a + 1 + n);for (int i = 1; i <= n; i++) {int minv = f[i - 1][1];for (int j = 1; j <= cnt; j++) {minv = min(minv, f[i - 1][j]);f[i][j] = minv + abs(c[j] - a[i]);}}for (int i = 1; i <= cnt; i++) {res = min(res, f[n][i]);}cout << res << endl;return 0;
}

E. Sonya and Problem Wihtout a Legend

题意：

给定一个长度为 N N N的 A A A序列，现在要把 A A A序列改成严格单调递增的序列 B B B，每次修改的花费为 ∣ A i − B i ∣ |A_i-B_i| ∣Ai−Bi∣，现在问把序列改成严格单调递增的最小花费为多少？

思路：

根据严格单调递增可知 B i + 1 > B i B_{i+1}>B_{i} Bi+1>Bi，所以 B i + 1 − 1 ≥ B i B_{i+1}-1≥B_{i} Bi+1−1≥Bi,所以 B i + 1 − ( i + 1 ) ≥ B i − i B_{i+1}-(i+1)≥B_{i}-i Bi+1−(i+1)≥Bi−i，所以构造新数组 C i = B i − i C_i=Bi-i Ci=Bi−i,此时问题转化为把 C C C数组改为非严格单调递增的序列的最小花费？此时就是上面那个问题了。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 3333;
#define ll long long
int n, m;
int a[N];
ll f[N][N];
int b[N];
int main() {cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> a[i];a[i] -= i;b[i] = a[i];}sort(a + 1, a + n + 1);m = unique(a + 1, a + n + 1) - (a + 1);for (int i = 1; i <= n; i++) {ll minv = f[i - 1][1];for (int j = 1; j <= m; j++) {minv = min(f[i - 1][j], minv);f[i][j] = minv + abs(b[i] - a[j]);}}ll res = 1e18;for (int i = 1; i <= m; i++) {res = min(res, f[n][i]);}cout << res << endl;
}

To be continued
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