本文为图论的学习总结，讲解欧拉通路和哈密顿通路。

欧拉通路与欧拉回路

图 GGG 中的欧拉回路是包含图中每条边的简单回路，欧拉通路是包含图中每条边的简单通路。

含有至少 2 个顶点的连通多重图具有欧拉回路且仅当每个顶点度为偶数。

连通多重图具有欧拉通路但无欧拉回路当且仅当它恰有 2 个度为奇数的顶点。

费勒里（Fleury）算法

该算法用来构造欧拉回路。从连通多重图任意一个顶点开始，连续地选择边来形成一条回路。选择后就删除该边，使得每条边从上一条边结束度地方开始，且不是割边，除非别无选择。

哈密顿通路与哈密顿回路

经过图中每个顶点恰好一次的简单通路称为哈密顿通路，经过每个顶点恰好一次的简单回路称为哈密顿回路。

哈密顿回路存在条件

哈密顿回路不能包含更小的回路。

当 n≥3n\ge 3n≥3 时，KnK_nKn 有哈密顿回路。一个图的边越多，越可能有哈密顿回路。

狄拉克定理

每个顶点的度都至少为 n/2n/2n/2，则有哈密顿回路。

欧尔定理

对每对不相邻的顶点 u,vu,vu,v，都有 deg⁡(u)+deg⁡(v)≥n\deg(u)+\deg(v)\ge ndeg(u)+deg(v)≥n，则有哈密顿回路。

应用

旅行商问题（TSP）要求一个旅行商微了访问一组城市应当选择的最短路线，实质为一个图中寻找哈密顿回路，使回路的边权和最小。

求解 TSP 问题最直接的做法是检查所有的哈密顿回路，选择总权值最小的一条回路。

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