【基本概念】

欧拉通路：通过图中所有边一次且仅一次行遍所有顶点的通路
欧拉回路：通过图中所有边一次且仅一次行遍所有顶点的回路
欧拉图：具有欧拉回路的图
半欧拉图：具有欧拉通路而无欧拉回路的图
奇度点：与点相连的边的数目为奇数的点
偶度点：与点相连的边的数目为偶数的点

【欧拉通路/回路的判定】

1.无向图

1）欧拉通路：图是连通的，图中只有两个奇度点，分别是欧拉通路的两个端点

对于欧拉通路，除起点、终点外，每个点如果进入，显然一定要出去，因此都是偶点

2）欧拉回路：图是连通的，点均为偶度点

对于欧拉回路，每个点进入、出去的次数相等，因此没有奇点

2.有向图

1）欧拉通路：图是连通的，除两顶点外其余点的入度等于出度，且这两个顶点中，一个顶点入度比出度大1（起点），另一个入度比出度小1（终点）

2）欧拉回路：图是连通的，图中所有点的入度等于出度。

3.Fleury 算法

Fleury 算法是用于求无向图中欧拉回路的算法，其基本思想如下：

任取图 G 中一顶点 v0，令 P0=v0
假设沿 Pi=v0e1v1e2...eivi，走到顶点 vi，按下面的方法从 E(G)-{e1,e2,...,ei} 中选择 ei+1:
1）ei+1 与 vi 相关联
2）除非无别的边可供选择，否则 ei+1 不应是 Gi=G-{e1,e2,...,ei} 中的桥
当 2 不能再进行时，算法停止

可以证明的是，当算法停止时，所得到简单回路 Pm=v0e1v1e2...emvm(vm=v0) 为G中的欧拉回路

int n,m;
int start;//起点
int num;//奇度顶点个数
int degree[N];//顶点的度
int path[N];//存储欧拉回路
int cnt;//欧拉回路计数器
bool G[N][N];
stack<int> S;
void dfs(int x){S.push(x);for(int i=1;i<=n;i++){if(G[x][i]){G[x][i]=false;G[i][x]=false;dfs(i);break;}}
}
void Fleury(int x){S.push(x);while(!S.empty()){bool flag=false;for(int i=1;i<=n;i++){if(G[S.top()][i]==true){ //与起点有关联的边flag=true;break;}}if(flag==true){ //如果有关联的边int temp=S.top();S.pop();dfs(temp);}else{ //如果没有有关联的边path[cnt++]=S.top();S.pop();}}
}
int main(){scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=m;i++){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);G[x][y]=1;G[y][x]=1;degree[x]++;degree[y]++;}cnt=1;num=0;start=1;for(int i=1;i<=n;i++){if(degree[i]&1){//如果某点的度是奇数if(num==0)//记录起点start=i;num++;//奇度点个数+1}}if(num==0||num==2){//如果存在奇度顶点，则从奇度顶点出发，否则从顶点0出发Fleury(start);for(int i=cnt-1;i>=1;i--)printf("%d ",path[i]);printf("\n");}elseprintf("No Euler path.\n");return 0;
}

4.并查集判断无向图中是否存在欧拉回路

当给出一个无向图时，若要求判断图中是否存在欧拉回路，可以使用并查集判断图是否连通，并统计每个节点的度数，依次来判断是否存在。

若图连通且所有点的度数为偶数，则说明该无向图中存在欧拉回路。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define N 1001
using namespace std;
int n,m;
int degree[N];
int father[N];
int Find(int x){if(father[x]==-1)return x;return father[x]=Find(father[x]);
}
void Union(int x,int y){x=Find(x);y=Find(y);if(x!=y)father[x]=y;
}
int main(){while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){memset(degree,0,sizeof(degree));memset(father,-1,sizeof(father));for(int i=1;i<=m;i++){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);degree[x]++;degree[y]++;Union(x,y);}int cnt=0;//记录连通分量for(int i=1;i<=n;i++)if(Find(i)==i)cnt++;if(cnt!=1)//若cnt大于1，说明图不连通printf("NO\n");else{int num=0;//统计度数为奇数的点for(int i=1;i<=n;i++)if(degree[i]&1)num++;if(num==0)printf("YES\n");elseprintf("NO\n");}}return 0;
}

【应用】

对于一般的单词首尾相连的问题，通常都是转化为有向图的欧拉通路问题。

例如：给出多个单词，问能不能将所有单词组成一个序列，序列的前一个单词的尾字母与后一个单词的头字母相同

如果把每个单词看出无向的边，那么最终求出的欧拉通路可能存在两个单词尾部和尾部相连的情况。

1.无向欧拉图打印欧拉通路/回路

输入保证一个有 n 个点，m 条边的具有欧拉回路或欧拉路径的无向图，要求打印出图的欧拉回路或通路。

如果要打印欧拉通路，输入的 start 一定要是起点之一，即： $deg(start)=1$ ，否则只是乱序打印图中所有的边。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<stack>
#define N 1001
using namespace std;
int n,m;
int G[N][N];
bool vis[N][N];//vis[i][j]=1表示点i到j之间存在一条边
void euler(int x){//打印以x为起点的欧拉回路或通路for(int y=1;y<=n;y++){if(vis[x][y]||vis[y][x]){vis[x][y]=0;//去掉x-y这条边vis[y][x]=0;//去掉y-x这条边euler(y);//首尾相连逆序打印欧拉通路//printf("%d %d\n",x,y);}}//逆序打印欧拉回路printf("%d ",x);
}
int main(){scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=m;i++){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);G[x][y]=1;G[y][x]=1;vis[x][y]=1;vis[y][x]=1;}int start;scanf("%d",&start);euler(start);//打印以x为起点的欧拉回路或通路return 0;
}

2.有向欧拉图打印欧拉通路/回路

输入保证是一 n 个点，m 条边的具有欧拉回路或欧拉路径的有向图，要求打印出图的欧拉回路或通路。

如果要打印欧拉通路，那么输入的 start 一定要是起点之一，即： $|deg^+(start)-deg^-(start)|=1$ ，否则只是乱序打印图中所有的边。

1）邻接矩阵实现

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<stack>
#define N 1001
using namespace std;
int n,m;
int G[N][N];
bool vis[N][N];//vis[i][j]=1表示点i到j之间存在一条边
void euler(int x){//打印以x为起点的欧拉回路或通路for(int y=1;y<=n;y++){if(vis[x][y]){vis[x][y]=0;//去掉x-y这条边euler(y);//首尾相连逆序打印欧拉通路//printf("%d %d\n",x,y);}}//逆序打印欧拉回路printf("%d ",x);
}
int main(){scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=m;i++){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);G[x][y]=1;vis[x][y]=1;}int start;scanf("%d",&start);euler(start);//打印以x为起点的欧拉回路或通路return 0;
}

2）邻接链表实现

struct Edge{int endd;bool vis;Edge(int endd,bool vis):endd(endd),vis(vis){}
};
int n,m;
vector<Edge> G[N];
void euler(int x) {for(int i=G[x].size()-1; i>=0;i--) {if (!G[x][i].vis){G[x][i].vis = 1;euler(G[x][i].endd);}}printf("%d\n",x);
}int main() {scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=m;i++){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);G[x].push_back(Edge(y,false));G[y].push_back(Edge(x,false));}int start=1;euler(start);return 0;
}

图论 —— 图的遍历 —— 欧拉通路与欧拉回路问题相关推荐

图系列（四）欧拉通路与欧拉回路
欧拉通路与欧拉回路之前,写了图系列一二三,现在出四啦!这也意味着,对于图的部分,可以说50%以上常用的内容就已经过了一遍了.欧拉路的部分会稍微难一点,主要是我们要和定义打交道了.至于其他图的理论,我 ...
欧拉通路、欧拉回路、欧拉图和半欧拉图以及 Hierholzer 算法
概念:欧拉通路(又称欧拉路径).欧拉回路.欧拉图和半欧拉图定义通过图中所有边恰好一次且行遍所有顶点的通路称为欧拉通路(又称欧拉路径). 通过图中所有边恰好一次且行遍所有顶点的回路称为欧拉回路. 具 ...
欧拉图——欧拉通路和欧拉回路
定义: 欧拉通路 (欧拉迹):通过图中每条边且只通过一次,并且经过每一顶点的通路. 欧拉回路 (欧拉闭迹):通过图中每条边且只通过一次,并且经过每一顶点的回路. 欧拉图:存在欧拉回路的图. 简单说欧拉 ...
图论 —— 图的遍历
[概述] 图的遍历问题是从图中某一顶点出发,系统地访问图中所有顶点,使每个顶点恰好被访问一次. 目前,图的遍历问题分为四类: 欧拉通路与欧拉回路问题:遍历完所有的边而不能有重复,即一笔画问题中国邮递 ...
ZOJ - 4122 Triangle City(最短路+欧拉通路+思维)
题目链接:点击查看题目大意:给出一张三角形的无向图,如下图所示求出从点 ( 1 , 1 ) 到点 ( n , n ) 找到一条最长路,且每条边至多遍历一次,输出最长路的权值以及路径题目分析:点 ...
#1176 : 欧拉路·一（欧拉通路的判定）
#1176 : 欧拉路·一时间限制:10000ms 单点时限:1000ms 内存限制:256MB 描述小Hi和小Ho最近在玩一个解密类的游戏,他们需要控制角色在一片原始丛林里面探险,收集道具,并找 ...
欧拉回路欧拉通路欧拉回路图
来源一.定义对于无向图: 1) 设G是连通无向图,则称经过G的每条边一次并且仅一次的路径为欧拉通路: 2) 如果欧拉通路是回路(起点和终点是同一个顶点),则称此回路为欧拉回路(Euler circ ...
nysit 42 欧拉通路（一笔画图）
题目链接:http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=42 题目大意:给你一些点和边,问能否用一笔把这个图画出来,每条边只能画一次思路:求是否存 ...
POJ - 2513 Colored Sticks 欧拉通路+并查集+静态树
一开始想用map来搞,但是感觉好复杂,然后想了一下看大佬们用trie做的,感觉十分合理就敲了一发. 一开始re,数组要开到550000 只会静态的字典树,在每个根节点看是否出现过改颜色,如果没有就把该 ...

图论 —— 图的遍历 —— 欧拉通路与欧拉回路问题