matlab 有限元法,基于Matlab语言的有限元法及其应用
烟台师范学院学报 自然科学版 面 过 俪 司 ‘以冤 抖 , 一一 厂十一 伙十综述又十 十 基 于 语言 的有 限元法及其应 用 宋克志’, , 刘智儒 ’ 烟台师范学院交通学院 , 山东 烟台 夕吐乃 北京交通大学隧道及地下工程试验研究中心 , 北京 〕 料 摘要 介绍了有限元法的本质特征及用变分试函数法和残值试函数法导出有限元法的过程 , 给出了在 祀语言环境下实现有限元法的步骤 利用 磁 语言中的 工具箱求解偏微分方程具有简便 、快速 、可视化程度高等优点 , 能满足精度要求 , 并以一个工程实例说明了利用有限元法求解偏微分方程从而解决实际问题 的方法 关键词 有限元法 偏微分方程 日 语言 中图分类号 二 口 巧 文献标识码 文章编号 碎 科 山一 份 在解决各类工程问题时 , 有限元法发挥着重要作用 , 而许多工程 问题 的解决是利用微分方程来求解的 , 大多数微分方程求解析解较困难 , 而求数值解较容易 , 有限元法是求解微分方程的方法 , 它是数值分析 中 一 方法 的具体应 用本文在阐明有 限元法 与微分方程关系的基础上 , 结合工程实例 , 给出 了在 语言环境下实现有限元法 的步骤 有限元法及其推导 中水头与流量之间的关系 、 电势与电量之间的关 系等都可称为刚度矩阵 有限元法可 以 由多种方式推导 出来 , 若忽略推导过程 , 此方法的结果就是微分方程的数值解有限元法可 以由变分试函数法 也称 凡 法 和残值试 函数法 也称 法 , 这两种方法是有限元法 的基础 这两种方法开始都要假设试函数 , 基本原理如图 所示 , 从 中可 以看出有限元法与微分方程的关系 这两种方法在数学上是等价的 , 可 以证明 , 翩 法和变分法可导出相等的公 确立 问题 的微分方程 组 及未知函数 ‘ , 有限元法是将物体划分成有限个单元 , 这些单元之间通过有限个节点相互连接 , 单元看作是不可变形的刚体 , 单元之间的力通过节点传递 , 然后利用能量原理建立各单元矩阵 , 然后 组成总 刚矩阵 , 求解线性方程组 结构分析中经典的刚度方法可 以在不考虑控制微分方程的情况下导出来 , 但是推导刚度方法的基本关系是以微分方程的解为基础的 , 也即能量原理与控制微分方程之间是有必然联 系 的 , 使用 时此原始含义 很容易被 忽略 〔‘〕, 实际上 , 微分方程渗透到工程领域的方方面面 , 常见 的控制微分方程有弹性问题 、热传导 、位势流 、质量输运 、 电流等 结构分析中的刚度矩阵 用以描述力和位移之间的矩阵关系 , 但是现在提到刚度矩阵时可 以不考虑其具体应用 , 如热传导问题中温度与热通量之间的矩阵关系 、渗流问题 将整个定义域 离散单元 定义待求函数的泛函 单元 上把形状 试函数及代入泛函 动 假设试函数 “ 将 代入微分方程得残值 求泛 函 的极值 , 撇 的极值 使残值 “护最小 ‘,。 体今仕 , 、二 单元刚度矩 阵总刚度矩阵 求解线性代数方程组得解 图 有限元求解微分方程的两种方法 收稿 日期 二 以刀一 卜 作者简介 宋克志 , 男 , 讲师 , 在读博士研究生 , 主要从事隧道及地下工程方面的研究 第 期 宋克志 , 等 基于 山山 语言的有限元法及其应用 式川 它们之间的差异主要在于满足边界条件的要求不同 法是一个 比变分法更有用 的工具 , 几乎所有的单个微分方程或微分方程组 藕合问题 的物理问题都可 以用此方法模拟 , 但需要一定的选择试函数的经验 而变分原理并不是对所有的物理问题都存在的 基于 的有限元法 还未铺设
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