有效数字的个数称为该数的有效位数。有效数字是误差理论的基本概念之一，若某数的近似值x*的误差不大于该数某一位数字的半个单位，该位到x*最左边的第一位非零数字都是该数的有效数字，其个数称为该数的有效位数。例如，取x*₁=3.14作π的近似值，它有三位有效数字；取x*₂=3.141作π的近似值，x*₂仍有三位有效数字(3，1，4)；取x*₃=3.142作π的近似值，x*₃就有四位有效数字(3，1，4，2)，一个准确数经四舍五入得到的近似数的所有数字都是有效数字[1]

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中文名

有效位数

外文名

number of significant figures,the number of significant figures所属学科

数学

定    义

有效数字的位数

有效位数定义

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语音

有效数字的位数就是有效位数。关于有效数字的定义有以下几种。

有效位数定义一

若一个数的误差不大于某位数字的一半，则由左到右，从左边第一个非零数字起，到右边这一位数字为止，每一位数字都称为准确数字，而这个数本身，称为准确到这一位数字的近似值。若这个数近似值准确到它的末位数字，则称它的每一位数字为有效数字。例如对0.0493，如果已知它准确到最后一位，则它的有效数字为4、9、3。如果只是最后一位数字不准确，则它的有效数字为4、9。由四舍五入得来的近似值，从第一个非零数字起的所有数字，都是有效数字，小数点并不影响有效数字的个数。例如，0.04926或0.04933经四舍五入得出的近似值为0.0493，有效数字为4、9、3。一个数有效数字的个数，反映这个数的精确度。

也可以只用只舍不入的规则，即以误差不大于某个数字的一个单位，来定义近似值的准确数字与有效数字。这时，从左边第一个非零数字起，到右边最后一位数字止，每一个数字都是准确数字与有效数字。例如：0.04921、0.04929的近似值，都是0.0492(或0.0493)，则准确数字与有效数字为4，9，2(或4，9，3)。如果最后一位有效数字为零，则在这个零上面上加一横，例如49,000 m,表示具有四位有效数字。 数据通常用指数形式表示，这样既方便于读写，又明显指出了有效数字，例如4900000,记为4.900×10⁶。[2]

有效位数定义二

国家标准GB 8170-87中对有效位数的定义为：对没有小数位且以若干个零结尾的数值，从非零数字最左一位向右数得到的位数减去无效零(即仅为定位用的零)的个数，就是有效位数；对其他十进位数，从非零数字最左一位向右数而得到的位数，就是有效位数[3]

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有效位数有效位数的运算法则

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在进行有效位数计算时，参加运算的分量可能很多。各分量数值的大小及有效位数的位数也不相同，而且在运算过程中，有效位数的位数会越乘越多，除不尽时有效位数的位数也无止境。即便是使用计算器，也会遇到中间数的取位问题以及如何更简洁的问题。测量结果的有效位数，只能允许保留一位欠准确数字，直接测量是如此，间接测量的计算结果也是如此。根据这一原则，为了达到：①不因计算而引进误差，影响结果；②尽量简洁，不作徒劳的运算，简化有效位数的运算，约定下列规则：[4]

(1)加法或减法运算。

大量计算表明，若干个数进行加法或减法运算，其和或者差的结果的欠准确数字的位置与参与运算各个量中的欠准确数字的位置最高者相同。由此得出结论，几个数进行加法或减法运算时，可先将多余数修约，将应保留的欠准确数字的位数多保留一位进行运算，最后结果按保留一位欠准确数字进行取舍。这样可以减小繁杂的数字计算。

(2)乘法和除法运算。

由此得出结论：用有效位数进行乘法或除法运算时，乘积或商的结果的有效位数的位数与参与运算的各个量中有效位数的位数最少者相同。

(3)乘方和开方运算。[4]

由此可见，乘方和开方运算的有效位数的位数与其底数的有效位数的位数相同。

(4)自然数1，2，3，4，…不是测量而得，不存在欠准确数字。因此，可以视为无穷多位有效位数的位数，书写也不必写出后面的0，如D=2R，D的位数仅由测量值R的位数决定。

(5)无理常数 ， ， ，…的位数也可以看成很多位有效位数。例如 ，若测量值 时， 应取为3.142，则

(6)有效位数的修约。根据有效位数的运算规则，为使计算简化，在不影响最后结果应保留有效位数的位数(或欠准确数字的位置)的前提下，可以在运算前、后对数据进行修约，其修约原则是“四舍六人五看右左”，“五看右左”即为五时则看五后面，若为非零的数则入、若为零则往左看，拟留数的末位数为奇数则入为偶数则舍，这一说法可以简述为五看右左。中间运算过程较结果要多保留一位有效位数。

如今计算机已广泛应用，我们没有必要为参加运算的测量数据的有效位数取舍问题去耗费精力。当然我们也不能因此而否定有效位数的近似运算法则。正是计算机的广泛使用。使很多人很少去考虑测量结果的有效位数问题，致使运算结果有效位数方面的问题越来越多。掌握有效位数的近似运算法则将是防止错误的一种很好手段。[4]

有效位数数字修约标准

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在1981年的国家标准GB/T 8170-1987中，对需要修约的各种测量、计算的数值，已有明确的规定：[4]

(1)原文“在拟舍弃的数字中，若左边第一个数字小于5(不包括5)时，则舍去，即所拟保留的末位数字不变”。例如：在3 605 6 43数字中拟舍去43时，4<5，则应为36 056，我们简称为“四舍”。

(2)原文“在拟舍弃的数字中，若左边第一个数字大于5．(不包括5)时，则进一，即所拟保留的末位数字加一”。例如：在3 605 623数字中拟舍去623时，6>5，则应为3 606，我们简称为“六入”。

(3)原文“在拟舍弃的数字中，若左边第一个数字等于5，其右边数字并非全部为零时，则进一，即所拟保留的末位数字加一”。例如，在3 605 123数字中拟舍去5 123时，5=5，其右边的数字为非零的数，则应为361，我们简称为“五看右”。

(4)原文“在拟舍弃的数字中，若左边第一个数字等于5，其右边数字皆为零时，所拟保留的末位数字若为奇数则进一，若为偶数(包括0)则不进”。例如，在36 050数字中拟舍去50时，5=5，其右边的数字皆为零。而拟保留的末位数字为偶数(含0)时则不进，故此时应为360，简称为“五看右左”。

上述规定可概述为：舍弃数字中最左边一位数为小于四(含四)舍、为大于六(含六)入、为五时则看五后若为非零的数则入、若为零则往左看拟留的数的末位数为奇数则入为偶数则舍。可简述为“四舍六入五看右左”。

可见，采取惯用的“四舍五入”法进行数字修约，既粗糙又不符合国标的科学规定。类似的不严谨、甚至是错误的提法和做法还有“大于五入，小于五舍，等于5保留位凑偶”；尾数“小于5舍，大于5入，等于5则把尾数凑成偶数”；“若舍去部分的数值，大于所保留的末位0.5，则末位加1，若舍去部分的数值，小于所保留的末位0.5，则末位不变……”等。还要指出，在修约最后结果的不确定度时，为确保其可信性，还往往根据实际情况执行“宁大勿小”原则。[4]

词条图册

更多图册

参考资料

1.

《数学辞海》编辑委员会．数学辞海·第四卷：中国科学技术出版社，2002.8

2.

沈以淡 出版： 出版时间．简明数学词典：北京理工大学出版社，2003-08

3.

吴平．理科物理实验教程：冶金工业出版社，2010.09

4.

向必纯．大学物理实验：西南交通大学出版社，2012.02