计算机数学与数学文化-定义-2020-5-10

一、函数模型

定义1.1
在某过程中数值保持不变的量称为常量，通常用字母a、b、c等表示；而数值变化的量称为变量，用字母x、y、t等表示。

定义1.2
设有两个变量x和y，如果对于变量x在允许取值范围内的每一个值，变量y按照某一对应法则f，都有唯一确定的值与之对应，则称y是x的函数，记为y=f(x) 其中，x为自变量，y为因变量，f为对应法则。x的取值范围叫做函数的定义域，y的取值范围叫做函数的值域。

定义1.3
设函数f(x)的定义域关于原点对称，如果对定义域内的任何x值，总有f(-x)=f(x),则称函数f(x)为偶函数；而对于定义域内的x值，总有f(-x)=f(x),则称函数f(x)为奇函数。
偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称

定义1.4
如果存在一个不为零的常数1，对于函数f(x)的定义域内的一切x值，总有f(x+l)=f(x)成立，则称函数f(x)为周期函数，1称为函数f(x)的一个周期。对于周期函数f(x)，这样的1不是唯一的，如果f(x)存在最小正周期，通常也把最小正周期简称为周期。

定义1.5
设函数y=f(x)在区间I内有定义，如果对于区间I内的任意两点x1与x2，当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2),则称为函数f(x)在区间(a,b)内单调增加(或递增)，这时，区间I称为函数f(x)的单调增加区间；而如果对于区间I内的任意两点x1与x2，当x1<x2时，总有f(x1)>f(x2),则称函数f(x)在区间I内单调减少(或递减),这时，区间I称为函数f(x)的单调减少区间。函数f(x)在区间I上单调增加或单调减少，则统称为函数f(x)在区间I上单调，区间I称为函数f(x)的单调区间；如果这里所说的区间I恰好是函数的定义域，则称为函数f(x)为单调函数。
从几何上看，函数单调增加就是当自变量x从左向右变化时，函数图形是上升的曲线，而函数单调减少就是当自变量x从左向右变化时，函数图形是下降的曲线。

定义1.6
设函数f(x)在区间I上有定义，若存在一正数M，当对于区间I上的任意x值，总有|f(x)|<=M时，则称函数f(x)在区间I上有界，如果这样的正数M不存在，则称f(x)在区间I上无界。
值得注意的是，有的函数在定义域的某一部分有界，而在另一部分无界。例如，y=x³在区间[-1,1]上是有界的，但在定义域(-∞,+∞)上是无界的。如果函数在其整个定义域上有界，则称其为有界函数，如y=sinx,y=cosx。

定义1.7
设函数y=f(x)的定义域为D，值域为V，如果对于V中的每一个数y，在D中只能找到唯一的数x，使f(x)=y,这样建立一个以y为自变量，而以x为因变量的函数，记x=φ(y)=f^-1(y),则称这个函数为函数y=f(x)的反函数。
在几何上，函数y=f(x)与它的反函数x=φ(y)=f^-1(y)的图形是相同的。但习惯上，自变量常用x表示，因变量用y表示。因此，通常函数y=φ(x)=f^-1(x)称为函数y=f(x)的反函数，此时，二者的图形关于直线y=x对称。

定义1.8
设y是u的函数y=f(u)，而u又是x的函数u=φ(x),如果φ(x)的值域包含在y=f(u)的定义域内，则y是x的函数，记为
y=f[φ(x)]

二、极限思想

定义2.1
无穷多个数按照一定的规律xn=f(n)排列一列，即可构成一个数列简记为{xn},其中第n项xn称为数列的通项。

定义2.2
对于数列{xn},当项数n无限增大(n->∞）时，如果数列通项xn=f(n)能与一个确定的常数a无限接近，则称该数列以a为极限，或者说常数a是数列{xn}的极限，记为

有极限的数列也称为收敛数列，如果数列没有极限,则称数列是发散的。

定义2.3
如果当x的绝对值无限增大时，即x->∞时，函数f(x)与一个确定的常数A无限接近，那么称A为函数f(x)当x->∞时的极限(也称当x->∞时，f(x)收敛于A),记为

定义2.4
设函数f(x)在点x0附件有定义(但在点x0处可以没有定义),如果当自变量x与定值x0无限接近时，即x->x0时，函数f(x)无限接近于一个确定的常数A，那么称A为函数f(x)当x->x0时的极限，记为

定义2.5
设函数f(x)在点x0左侧附件有定义(但在点x0处可以没有定义),如果当自变量x从x0的左侧无限接近x0时，即x->x0时的左极限，记为

同样，;设函数f(x)在点x0右侧附件有定义(但在点x0处可以没有定义),如果当自变量x从x0的右侧无限接近x0时，即x->x0时的右极限，记为

定义2.6
如果在自变量的某一变化趋势x->a下，a可以是任何实数x0或∞,函数f(x)的极限为零，即.则称f(x)是自变量在x->a下的无穷小。

定义2.7
如果在自变量的某一变化趋势x->a下，a可以是任何实数x0或∞,函数f(x)的极限为∞，即,则称f(x)是自变量在x->a下的无穷大。
而把总取正值的无穷大称为正无穷大，把总取负值的无穷大称为负无穷大，分别记为

定义2.8
如果函数f(x)在点x0处同时满足下面的三个条件:
(1)f(x)在x0处有定义，即f(x0)有意义；
(2)f(x)在x0处有极限，即存在
(3)f(x)在x0处的极限值等于x0处的函数值，即;
则称函数f(x)在点x0处是连续的，否则称函数f(x)在点x0处不连续(又称间断)

定义2.9
设函数f(x)在点x0的附件有定义，当自变量x由x0变到x1时，则称x1-x0为自变量x在x0处的增量(或改变量),记为△x,即
△x=x1-x0
相应的，f(x)由函数值f(x0)变到函数值f(x1),则称f(x1)-f(x0)为函数f(x)在x0处的增量(或改变量),并记为△y，即
△y=f(x1)-f(x0)或△y=f(x0+△x)-f(x0)

定义2.10
设函数f(x)在点x0的附件由定义，自变量在点x0处的增量△x无限趋于零时，函数的增量△y也无限趋于零，即

则称函数f(x)在点x0处是连续的，点x0为函数f(x)的连续点。

定义2.11
设函数f(x)在区间I上由定义，x0是区间I上的一点，如果对于区间I上的所有点x，总有f(x0)≥(≤)f(x)成立，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大(小)值。

定义2.12
设α和β是x在同一变化过程下的两个无穷小:
(1)如果lim β/α=0.就称β是较α高阶的无穷小，记为β=0(α);
(2)如果lim β/α=∞，就称β较α低阶的无穷小；
(3)如果lim β/α=C≠0(C是常数),就称β与α是同阶无穷小；
(4)如果lim β/α=1,就称β与α是等阶无穷小，记为α~β。

三、变化率思想-导数

定义3.1
设函数y=f(x),称为函数y=f(x)在区间[x0,x0+△x]上的平均变化率；称为函数y=f(x)在点x0处的瞬时变化率。

定义3.2
若函数y=f(x)在x0附近有定义，若存在，则称函数f(x)在x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在x0处的导数，记为f’(x0)或；若不存在，则称函数f(x)在x0处的导数不存在或在x0处不可导，也就是说，

定义3.3
左导数:
右导数:
若函数f(x)在x0处可导⇔左导数f’-(x0)和右导数f’+(x0)都存在且相等。

定义3.4
因变量y与自变量x的关系是由一个方程F(x,y)=0所确定的，这种由含变量x和y的方程F(x,y)=0所确定的函数称为隐函数；由变量x和y的方程y=f(x)所确定的函数称为显函数。

定义3.5
设有函数y=f(x)，分别记
一阶导数的导数y’’=(y’)‘为f(x)的二阶导数，
二阶导数的导数y’’’=(y’’)'为f(x)的三阶导数，
。。。。。。
n-1阶导数的导数y⁽ⁿ⁾=(y^(n-1))'为f(x)的n阶导数(n为正整数)
y=f(x)的n阶导数也可记为。二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数。

定义3.6
设函数y=f(x)在x处可导，则称f’(x)△x为函数y=f(x)在x处的微分,记为dy或df(x),即
dy=df(x)=f’(x)△x
此时，称函数y=f(x)在点x处可微。
规定△x=dx,则有dy=df(x)=f’(x)△x=f’(x)dx.

定义3.7
设函数y=f(x)在点x的某个领域内有定义，如果函数的增量可以表示为
其中，o(△x)是当△x->0时比△高阶的无穷小，那么称f’(x)△x为函数y=f(x)在点x的微分，记为dy,即△y=dy+o(△x)

定义3.8
假设量x可以直接测量，而依赖于x的量y由函数y=f(x)确定，若x的测量误差为△x,则y相应的误差为△y=f(x+△x)-f(x)
|△y|称为量y的绝对误差，|△y/y|为量y的相对误差。
在计算机中通常用|dy|代替|△y|表示绝对误差估计量，用|dy/y|替代|△y/y|表示相对误差估计量。

四、导数的应用

定义4.1
使f’(x)=0的点为f(x)的驻点。
研究函数的单调性，就是判定其在定义域内哪些区间上单调增加、在哪些区间上单调减少。根据上述定理，可导函数的单调性可以根据其导数的正负情况来确定，于是求函数单调区间的步骤如下。
(1)指出函数的定义域。
(2)求出f’(x)
(3)找出单调性发生变化的可能分界点：f’(x)=0的点(驻点)h和f’(x)不存在的点。
(4)以这些可能分界点将定义域分为若干个子区间，并列表判别f’(x)在各个子区间的符号，从而判定函数f(x)的单调性。

定义4.2
设f(x)在点x0及其附近有定义，若在点x0附件，恒有:
(1)f(x)<f(x0)，则称f(x0)为极大值，x0为极大值点；
(2)f(x)>f(x0)，则称f(x0)为极小值，x0为极小值点；
极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。

定义4.3
设f(x)在区间I有定义，x1,x2∈I，若对于区间上的所有点x，有
(1)f(x)≤f(x1),则称f(x1)为f(x)在区间I上的最大值，x1为最大值点
(2)f(x)≥f(x2),则称f(x2)为f(x)在区间I上的最小值，x2为最小值点。最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点。

定义4.4
设函数y=f(x)在(a,b)内连续，若在区间(a,b)内，曲线y=f(x)总位于其上任意一点切线的上方，则称曲线y=f(x)在(a,b)内是凹的，如图,若在区间(a,b)内曲线y=f(x)总位于其上任意一点切线的下方，则称曲线y=f(x)在(a,b)内是凹的，如图

定义4.5
连续曲线y=f(x)上凹凸性的分界点(x0,f(x0))称为该曲线的拐点，由拐点定义容易得出曲线有拐点得充分条件。

五、不定积分

定义5.1
设f(x)在区间I上有定义，如果存在可导函数F(x)，使得∀x∈I有F‘(x)=f(x),则称F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数。

定义5.2
如果f(x)在区间I上存在原函数，那么f(x)在区间I上的全体原函数记为∫f(x)dx=F(x)+C
其中，∫称为积分号；f(x)称为被积函数；x称为积分变量；f(x)dx称为被积表达式;C称为积分常数。

六、定积分及其运用

定义6.1
设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，在[a,b]中任意插入n-1个分点，则有
a=x0<x1<x2<…<xi-1<xi<…<xn-1<xn=b
把区间[a,b]分成n个子区间，
[x0,x1],[x1,x2]…[xi-1,xi],…[xn-1,xn]
各小区间的长度依次为
△x1=x1-x0,△x2=x2-x1,…△xn=xn-xn-1
在每个子区间[xi-1,xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi),作函数值f(ξi)与小区间长度△xi的乘积f(ξi)△xi(i=1,2…,n)
并作出和

记f=max{△x1,△x2,…,△xn},如果不论[a,b]怎样划分，也不论在小区间[xi-1,xi]上点ξi怎样选取,只要当λ->0时，和S总趋于确定的极限I，则称函数f(x)在区间[a,b]上可积，并称I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分(简称积分),记为,即

其中，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，[a,b]称为积分区间，a称为积分下限，b称为积分上限，符号读作函数f(x)从a到b的定积分。
定积分定义可概括为“分割取近似，求和取极限"。分割取近似->f(x)dx;求和取极限->

七、线性代数

定义7.1
由mxn个数aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排列成一个m行n列，并括以方括弧(或圆括弧)的数表

称为m行n列矩阵，简称mxn矩阵。通常用大写字母A,B,C。。。表示矩阵，其中aij称为矩阵A的第i行第j列的元素，mxn矩阵A也可简记为。

定义7.2
方阵An=，从左上角到右下角由元素练成的直线称为方阵的主对角线。

定义7.3
两个矩阵行数相等，列数也相等，就称它们是同型矩阵。

定义7.4
如果两个矩阵A=(aij)和B=(bij)是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即aij=bij(i=1,2,…,m;i=1,2,…,n),则称矩阵A与矩阵B相等，记为A=B。

定义7.5
设A=(aij),B=(bij)是两个mxn矩阵，则矩阵A与B的和规定为
A+B=(aij+bij)=

定义7.6
数λ与矩阵Amxn的乘积记为λA或Aλ，规定为
λA=Aλ=(λaij)mxn=

定义7.7
设矩阵A是一个mxs矩阵，即A=(aij)mxs,矩阵B是一个sxn矩阵，即B=(bij)sxn,则称mxn矩阵C=(cij)mxn为矩阵A与B的乘积，其中，

记为C=AB。

定义7.8
将矩阵A的行换成同序数的列得到的矩阵，称为A的转置矩阵，记作A^T。

，则A^T=
定义7.9
下面三种变换称为矩阵的初等变换。
(1)交换矩阵的任意两行(交换i，j两行，记作ri<->rj）；
(2)用一个非零数k乘以矩阵的某一行(第i行乘以数k，记作rixk);
(3)把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素中(第j行的k倍加到第i行上，记作ri+krj).
把定义中的行换成列，得到矩阵的初等列变换的定义(所用记号中的r换成c)。矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换。

定义7.10
满足下列两个条件的矩阵称为阶梯形矩阵。
(1)零行(元素全为零的行)位于矩阵的下方；
(2)非零行的第一个不为零的元素的列标号随行标号的增加而严格增加。

定义7.11
满足下列条件的阶梯形矩阵称为行最简矩阵
(1)非零行的第一个不为零的元素是1；
(2)非零行的第一个元素1所在列的其他元素都为0

定义7.12
矩阵A的阶梯形矩阵中非零行的个数称为矩阵A的秩，记作r(A)、R(A)或rank(A)。

定义7.13
设A是一个n阶方阵，如果r(A)=n.则称A为满秩矩阵，或非奇异的矩阵。

定义7.14
对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使
AB=BA=E
则称矩阵A是可逆的。并把矩阵B称为A的逆矩阵，记作A^-1,即B=A^-1.

八、趣味图论

定义8.1
图G是由非空节点集合V={v1,v2,v…,vn}以及边集合E={e1,e2,…,em}两部分组成，这样的一个图G可记为G=<V,E>。其中节点也称顶点或点，边也称弧。

定义8.2
在无向图或有向图G=（V，E）中，与节点v关联的边的个数，称为该节点的度数，简称度，记为deg(v)或d(v)。

定义8.3
在有向图G=(V,E)中，射入节点v的边数称为该节点的入度，记为d=(v)；射出节点v的边数称为该节点的出度，记为d=(v)。

定义8.4
图G中前后相互关联的点边交替序列w=v0e1v1e2…envn称为连接v0到vn的通路，简称路，W中边的数目K称为通路W的长；当v0=vn使，称为通路为回路。

定义8.5
在无向图G中，节点u和节点v之间存在一条能通达的路，则称节点u与节点v是连通的，若图G中，任意两个节点均连通，则称图G是连通图。

定义8.6
设G=<V,E>是连通无向图；
(1)若在图G中存在一条通路，经过图G中每条边一次且仅一次，则这点通路称为欧拉通路；
(2)若在图G中存在一条通路，从某点出发经过图G中每条边一次且仅一次，又回到该点，则这条通路称为欧拉回路。具有欧拉回路的图为欧拉图。

定义8.7
设G=<V,E>是连通无向图，图G中存在一条经过图中的每个节点一次且仅一次的通路，称此通路为哈密尔顿通路。图G中存在一条经过图中的每个节点一次且仅经过一次的回路，称此回路为哈密尔顿回路。具有哈密尔顿回路的图为哈密尔顿回路的图为哈密尔顿图

定义8.8
设无向图G=<V,E>的节点集为V={v1,v2,…vn},边集为E={e1,e2,…em},则矩阵M(G)=(mij)mxn称为G的关联矩阵，其中
mij={ 1,若vi关联ej，0，若vi不关联ej}

定义8.9
设有向图D=<V,E>的节点集为V={v1,v2,…,vn},边集为E={e1,e2,…em},则矩阵M(D)=(mij)nxm称为D的关联矩阵，其中
mij={1,若结点vi是ej的起点， -1，若结点vi是ej的终点，0，若结点vi是ej不关联

定义8.10
设无向图G=<V,E>的节点集为V={v1,v2,…,vn},则n阶方矩A(G)=(aij)nxn称为G的邻接矩阵，其中
aij={1 若vi与vj邻接，0 若vi与vj不领接

定义8.11
若图G=(V,E)中每一条边e附加一个实数w(e),则称w(e)为边e的权(有时也可说是边的"长")

定义8.12
图G的边上有权，该图G连同它的边上的权称为带权图，记为G=（V,E,w）

定义8.13
在带权图中给定两个节点vi与vj，如果从vi到vj有多条通路，构成某通路上所有权的和就称为该通路的“长度”；从vi到vj的所有通路中，“长度”最小的通路称为从vi到vj的最短通路。

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目录

一、函数模型

二、极限思想

三、变化率思想-导数

四、导数的应用

五、不定积分

六、定积分及其运用

七、线性代数

八、趣味图论

计算机数学与数学文化-定义相关推荐

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