Introduction

泊松分布由二项分布演进而来。
二项分布即，假设硬币正面向上概率为p，抛n次硬币，这n次中硬币朝上k次（k<=n）的概率为
- p(k)=Cknpk(1−p)n−k (1)
  
  p(k) = C_n^kp^k(1-p)^{n-k} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)
硬币朝上的期望值为：
- E(k)=pn (2)
  
  E(k) = pn \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)
如果我们把期望值看做一个恒值 λ \ \lambda\ 。即：现在我能根据n的大小来控制 p \ p \ ，即 n \ n \ 越大， p \ p\ 越小，硬币朝上的次数的期望不变(恒为 λ \ \lambda\ ）：
- E(k)=pn=λ (3)
  
  E(k) = pn= \lambda \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)
- OK，引子到此结束，下面开始正式推导！！！

Derivation of Poisson distribution

⨂12⨂34\sideset{^1_2}{^3_4}\bigotimes⨂12⨂34\sideset{^1_2}{^3_4}\bigotimes⨂12⨂34\sideset{^1_2}{^3_4}\bigotimes⨂12⨂34\sideset{^1_2}{^3_4}\bigotimes⨂12⨂34\sideset{^1_2}{^3_4}\bigotimes⨂12⨂34\sideset{^1_2}{^3_4}\bigotimes⨂12⨂34\sideset{^1_2}{^3_4}\bigotimes⨂12⨂34\sideset{^1_2}{^3_4}\bigotimes⨂12⨂34\sideset{^1_2}{^3_4}\bigotimes⨂12⨂34\sideset{^1_2}{^3_4}\bigotimes⨂12⨂34\sideset{^1_2}{^3_4}\bigotimes⨂12⨂34\sideset{^1_2}{^3_4}\bigotimes⨂12⨂34\sideset{^1_2}{^3_4}\bigotimes⨂12⨂34\sideset{^1_2}{^3_4}\bigotimes⨂12⨂34\sideset{^1_2}{^3_4}\bigotimes⨂12⨂34\sideset{^1_2}{^3_4}\bigotimes⨂12⨂34\sideset{^1_2}{^3_4}\bigotimes⨂12⨂34\sideset{^1_2}{^3_4}\bigotimes

limn−>∞,p−>0=Cknpk(1−p)n−k (4)

\ \ \ \ \lim_{n->\infty,p->0}=C_n^kp^k(1-p)^{n-k} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)

=limn−>∞,p−>0n!k!(n−k)!pk(1−p)n−k (5)

=\lim_{n->\infty,p->0}\frac{n!}{k!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5)

=limn−>∞,p−>0n(n−1)...[n−(k−1)]k!pk(1−p)n−k (6)

=\lim_{n->\infty,p->0}\frac{n(n-1)...[n-(k-1)]}{k!}p^k(1-p)^{n-k}\ \ (6)

=limn−>∞,p−>0nkk!(λn)k(1−p)λp−k (7)

=\lim_{n->\infty,p->0}\frac{n^k}{k!}(\frac{\lambda}{n})^k(1-p)^{\frac{\lambda}{p}-k} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (7)

=limn−>∞,p−>0nkn!λkk![(1−p)−1p]−λ(11−p)k (8)

=\lim_{n->\infty,p->0}\frac{n^k}{n!}\frac{{\lambda}^k}{k!}[(1-p)^{-\frac{1}{p}}]^{-\lambda}(\frac{1}{1-p})^k \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (8)

=limn−>∞,p−>01λkk!(1−λn)n(1−λn)−k (9)

=\lim_{n->\infty,p->0}1\frac{{\lambda}^k}{k!}(1-\frac{\lambda}{n})^{n}({1-\frac{\lambda}{n})^{-k}} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (9)

=limn−>∞,p−>01λkk!(1−λn)n1 (10)

=\lim_{n->\infty,p->0}1\frac{{\lambda}^k}{k!}(1-\frac{\lambda}{n})^{n}1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (10)
- 回顾 e−λ \ e^{-\lambda} \ 的定义：
-

limn−>∞(1−λn)n=e−λ

\lim_{n->\infty}(1-\frac{\lambda}{n})^n = e^{-\lambda}
- - then,formula（10）can be rewrite as:

=limn−>∞,p−>0λkk!e−λ (11)

=\lim_{n->\infty,p->0}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (11)
⨂12⨂34\sideset{^1_2}{^3_4}\bigotimes ⨂12⨂34\sideset{^1_2}{^3_4}\bigotimes ⨂12⨂34\sideset{^1_2}{^3_4}\bigotimes ⨂12⨂34\sideset{^1_2}{^3_4}\bigotimes ⨂12⨂34\sideset{^1_2}{^3_4}\bigotimes ⨂12⨂34\sideset{^1_2}{^3_4}\bigotimes ⨂12⨂34\sideset{^1_2}{^3_4}\bigotimes ⨂12⨂34\sideset{^1_2}{^3_4}\bigotimes ⨂12⨂34\sideset{^1_2}{^3_4}\bigotimes ⨂12⨂34\sideset{^1_2}{^3_4}\bigotimes ⨂12⨂34\sideset{^1_2}{^3_4}\bigotimes ⨂12⨂34\sideset{^1_2}{^3_4}\bigotimes ⨂12⨂34\sideset{^1_2}{^3_4}\bigotimes ⨂12⨂34\sideset{^1_2}{^3_4}\bigotimes ⨂12⨂34\sideset{^1_2}{^3_4}\bigotimes ⨂12⨂34\sideset{^1_2}{^3_4}\bigotimes ⨂12⨂34\sideset{^1_2}{^3_4}\bigotimes ⨂12⨂34\sideset{^1_2}{^3_4}\bigotimes

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