数学文化——数论之美

题目：数论中的文化之美

摘要：数论，又名高等算术，早期称为算术，直到20世纪初，才开始使用数论的名称，数论是数学的一个分支，主要研究一类特殊的数的性质，更具体的说，主要是在整数领域内，涉及整数的整除性理论、同余理论和一元高次方程的整数解理论。以素数和同余的研究为重心，探寻其相关性质及其应用，我们知道，任何一个整数都可以通过唯一分解定理分解为多个素数的乘积，那么深入研究素数，并以此为跳板，使得整数的研究更加容易。初等数论主要研究特殊数、素数、同余式等，在现实生活中应用广泛，比如对于信息的加密处理、信息安全等领域有深远的影响。数论的研究可以追溯到几个世纪之前，在此期间，人们对数论的研究从未间歇过，在历史的长河里，一位位伟大的数学家投身于数论的研究，使这段文化旅程大放光彩。

关键词：数论 文化素数同余 密码学

正文：

“数学不仅揭示真理，也给人极度的美感——如同雕塑般的冷艳与严肃，这种美不需要利用人性的弱点，也不需要绘画或音乐那样华丽的包装。它是极其纯洁的，就完美型而言只有最伟大的艺术才能与之相比。”

1902年著名哲学家、数学家写下这句话，数学的美是纯洁的，是完美的，是抽象的。它不像绘画、音乐一般可以用感官体会，它更倾向于精神领域，给人以更神圣的洗礼。在历史上，数学与哲学其实是分不开的，古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯从小受到宗教文化的熏陶，在他成年之后，创建了毕达哥拉斯兄弟会，这是一个集宗教、政治、学术为一体的团体，受到当地权势的赞助，兄弟会日益兴盛。兄弟会的成员有着共同的信仰，对数学、数论有着非常深入的研究，但是，毕达哥拉斯兄弟会认为组织内所产出的成果绝不能透露到外界，否则将严惩透露者。由于这种制度的存在，兄弟会遭到外界的学术研究者的不满，后来兄弟会受到民主运动的冲击，流传下来的学术成果少之又少。一段数学的繁荣就此结束。

在数论的研究过程中，还出现了许多数学家，比如被誉为“业余数学家之王”的费马，在《算术》一书的空白处留下了一个困惑了世间智者长达358年的谜——费马大定理，准确的说应该是费马的一个猜想，因为当时费马并未给出详细证明，只留下一句戏剧性的话，“我有一个完美的证明，但这里空白太小，我写不下”。之后的358年里，许多的数学家日夜奋战，只为还原那一个完美的证明，直到1995年，安德鲁·怀尔斯面对世界说道：“我想我就在这里结束”，为费马大定理画上了一个完美的句号。

曾在数论领域流传着这样一句话，“发现新的素数是现在出名最快的方式”，素数有无穷多个，但至今为止，仍没有人可以给出素数的一般规律。一个数值较小的素数我们可以用整除性检验，但一旦涉及的数值较大，这种方法便不可取了，复杂度太高，耗时太长，那么如何去判断一个大素数呢？各位数学家发现了许多可靠的方法，应用比较多的有拉宾-米勒测试，还有多种方法应用了整数的阶和原根进行素性检验。素数之下，又有许多分支，如梅森素数（形如2^p-1的素数），我们现在还不能确定是否存在无穷多个梅森素数，通过GIMPS网站我们可以知道，现在已发现50位梅森素数，最大的梅森素数已达到23249425位数。与梅森素数紧密相关的另一类数——完全数，其真因数之和等于该数，即σ(n)=2n ，由欧几里得完全数公式可以知道，如果2^p-1是素数（即梅森素数），则2^(p-1)*(2^p-1)是完全数，那么一个梅森素数对应一个完全数。目前发现的完全数都是偶数，至于是否存在奇完全数仍是一个谜。

初等数论的研究中，发现了许许多多有趣的数，这些数为广大数学爱好者增添了无穷的趣味。下面简要介绍几种较为常见的特殊数：乌拉姆数，定义数列前两项为1和2，对于n>2，第n个数当且仅当唯一地写成两个不同的乌拉姆数之和，比如3=1+2是乌拉姆数，4=1+3也是乌拉姆数，但5=1+4=2+3则不能称为乌拉姆数。斐波那契数列，由一群兔子繁殖而发现的一个数列，目前斐波那契数列的研究已经十分深入了。与斐波那契数列相似的是卢卡斯数，卢卡斯数定义Ln=Ln-1+Ln-2，与斐波那契数列不同的是它的前两项是确定的，为1和3。

数论的另一大研究方向——同余。同余的应用较为广泛，比如整除性的检验、万年历、循环赛赛程、散列函数（哈希函数）、校验位、信息加密等。整除性的检验可以通过一条条的规律性质将复杂的整除性简单化，例如要检验n能否被2j整除，只需检验n的最后j位数字能否被2j整除，类似的还有5^j、7、11、13等；散列函数h(k)≡k(mod m)在计算机储存方面有很大作用，后续为解决冲突和堵塞问题，又提出双重散列，其中应用了孪生素数；校验位应用在检验数据串的误差上。

由同余而衍生出来的一门学科——密码学，同样有着很长的历史了，从简单的字符密码开始，到分组密码和流密码，又到后来的指数密码，无不应用着同余的理论。举个最简单的例子，凯撒密码——C≡P+k(mod 26)，其中C为密文，P为明文，它的实质就是利用移位变换来加密，但这种密码仅有26种变换形式（算上不进行变换的情况）。

初等数论的研究并不止于此，原根的性质及应用、莫比乌斯反演、丢番图方程、二次互反律、欧拉函数……

对于数论的研究也从未止步，我们证明了一个个猜想，又继续发现了一个个猜想，我们在数论的征程中，从未止步，一代又一代的数学家前赴后继，他们既是为了自己的信仰，也是为了人类的文明，他们在数论中发现了美，创造了一种独特的文化魅力，这种魅力吸引着后人，推动着后人。

“我们必须知道，我们将会知道”。

参考文献：

[1]谢红梅. 《初等数论》课程渗透数学文化教学研究与实践[J]. 兵团教育学院学报,2013,23(01):39-43.

[2]西蒙·辛格[英]，薛密[译]，《费马大定理》.广西师范大学出版社

[3]邹青，《数论中的美学》.哈尔滨工业大学出版社

[4]Kennegh H.Rosen《初等数论及其应用》.机械工业出版社

[5] 约瑟夫 H.西尔弗曼[美]，《数论概论》.机械工业出版社

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