程序员的自我修养之数学基础05：线性方程组解的情况（矩阵的初等变换和高斯消元法）

真是非常不情愿啊，之前刚刚把矩阵变化讲得非常“玄幻”，但是马上又要转到枯燥的计算上来了。

线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组。啥意思呢，举个栗子：

上面就是一个典型的线性方程组了，该方程组中共包含四个未知数。这个方程组可以用矩阵相乘的方式表示：

$\begin{bmatrix} 2 & -1 &5 &7 \\ 4 &-2 &7 &5 \\ 2&-1 & 1 &-5 \\ 2 &-1 &6 &10 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\\ x_{4} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}$

用 $\boldsymbol{x}= (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T}$ ，

$\boldsymbol{y}= (y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})^{T}=(0,0,0,0)^{T}$ ，

$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 2 & -1 &5 &7 \\ 4 &-2 &7 &5 \\ 2&-1 & 1 &-5 \\ 2 &-1 &6 &10 \end{bmatrix}$ ，

上面的线性方程组就可以用 $\boldsymbol{A}\cdot \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b }$ 来表示。

下面我们就讨论一下线性方程组解的情况。

1. 矩阵的初等变换

解线性方程组的一个非常重要的过程，就是“消元”，也就是通过变换使得原方程逐步化简为与其同解的且能够直接解出的方程组。在这个过程中施加的变换不外乎以下几种：

1.交换矩阵的两行。

2.以数K（不等于0）乘以矩阵某一行。

3.把矩阵某一行的K倍添加到某一行上。

这三种变换称为线性方程组的初等变换。

2. 齐次线性方程组的解

齐次线性方程组，就是方程组的等式右边全部是0的方程组，如下图所示：

这种类型的方程组可以表示为 $\boldsymbol{A}\cdot \boldsymbol{x}=\boldsymbol{0},\boldsymbol{A}$ 被称为该方程组的系数矩阵。对于齐次线性方程组，我们直接处理其系数矩阵，通过高斯消元法将该矩阵化简为阶梯型矩阵，化简之后，判断其有效方程个数是否小于未知数的个数：

如果有效方程个数小于未知数的个数，则该方程组有非零解（多个解）。

在这里还有两个基础但重要的性质：（1）两个姐的和还是方程组的解；（2）一个解的倍数依然是方程组的解。因此，在求解齐次方程组时，我们只关注线性无关的解即可，一个齐次线性方程组所有线性无关的解称为这个方程组的基础解系，方程组任意一个解都是它基础解系的线性组合。齐次线性方程组基础解系中解的个数是 $n-r(\boldsymbol{A})$ 。

如果有效方程个数等于未知数的个数，则该方程组只有零解（唯一解）。

高斯消元法（Gauss Elimination Method）是一种规则化的加减消元法，基本思想是通过逐次消元计算吧需要求解的线性方程组转化为上三角形方程组，从而使一般线性方程组的求解转化为等价（同解）的上三角形方程组的求解。

举个栗子：

3. 非齐次方程组的解

非齐次线性方程组，就是方程组的等式右边不为0的方程组。如下图所示：

第一步，给系数矩阵加上方程等式右边数值组成的列，就得到了该方程组的增广矩阵。

第二步，用高斯消元法化简，化简成阶梯矩阵。

可以看到，在这个例子中，化简后的有效方程组个数，小于未知数个数。这样的方程组有无穷多个解化。

对于另外一些例子，

如，化简结果为

矩阵最后一行代表的这种形式的方程叫做 {0=d} 方程，其中d是非零数。这种方程也叫做不相容方程，就是自相矛盾的方程。 这个方程是不可能成立的，所以原线性方程组无解。

综上，对于非齐次方程，先要得到他的增广矩阵（ $\widetilde{\boldsymbol{A}}$ ），通过高斯消元法对其进行化简，将其转换为阶梯型矩阵：

如果出现{0=d}形式的不相容方程，则该方程组无解。
有解的情况下，再看看有效方程个数是否小于未知数个数，如果是，则有无穷多个解。如果正好相等，则有唯一解。

参考：

https://jingyan.baidu.com/article/a3f121e4affa6efc9052bbe5.html

https://jingyan.baidu.com/article/fec7a1e5cb631f1190b4e732.html

https://wenku.baidu.com/view/a31e36e03186bceb18e8bb17.html

https://blog.csdn.net/qq_32742009/article/details/82180057