小学初中学数学的时候我们都听过老师说过这样的话：求解n个未知数，需要n个方程。现在我们知道，这句话其实是有很大毛病的，因为，只是数量上有n个方程是不够的，这n个方程还需要“有效”，而这所谓的“有效方程”的个数，就是我们现在要讨论的矩阵的秩。

线性相关和线性无关

若有m+1个n维的不全为0的向量

将其中第m+1个向量写成下面的形式：

若这里的 $k_{1},k_{2},\cdots ,k_{m},k_{m+1}$ 不全为零，则称这 m+1个向量间存在线性关系，也就是说这 m+1个向量线性相关。

当然，也可以用另一种等价的说法，即若m+1个向量是线性相关的，那一定存在不全为零的 $k_{1},k_{2},\cdots ,k_{m},k_{m+1}$ 使得

显然，刚刚强调了那么多次“不全为零”，那么，当且仅有的时候 $k_{1}=k_{2}=\cdots=k_{m}=k_{m+1}=0$ 上面的式子才成立，则称这m+1个向量是线性无关，也就是线性独立的啦~

矩阵的秩

当当当，主角出场！——我们的Rank(A)!

先从代数的角度来理解：

定义一：设在m×n矩阵A 中，有 r 阶子式不为0，任一r+1阶子式（如果存在的话）全为0，则称 r 为矩阵A的秩。

k阶子式（在m×n矩阵A 中，任意区k行和k列交叉点上的元素按原相对位置组成的k 阶行列式1≤k≤min{m,n}），称为A 的一个k阶子式）

定义二：矩阵中所有行向量中极大线性代无关组的元素个数称为矩阵的秩。

定义三：方程组中真正“有价值”的方程个数，就是这个方程组对应的矩阵的秩。

啥意思呢？

回答我们说的矩阵的代数意义——线性方程组。

对于下面这个线性方程组，

通过简单的变换，我们可以将其转化为：

Obviously，虽然看上去有四个方程，可以求解四个未知数，但是其实这四个方程中真正“有价值”的方程只有两个。此时，请回头看一看定义三，理解一下。

如果从向量的角度去分析，我们又很容易理解定义二了。

观察上面这个方程组的系数和常数项组成的行向量，我们可以得到：

回想一下刚刚说的线性相关和无关的概念。

对于前四个向量来说，有：

对于前三个向量来说，有：

但是对于前两个向量，计算可得 $k_{1}=k_{2}=0$ 。这说明， $\alpha _{1}$ 和 $\alpha _{2}$ 线性无关，而 $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$ 和 $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\alpha _{3}$ 所组成的向量组是线性相关的。根据定义二，矩阵的秩即为“极大线性代无关组的元素个数”，也就是2。

从几何角度理解

「秩」是图像经过矩阵变换之后的空间维度

「秩」是列空间的维度

如何求秩

阶梯矩阵的秩等于其“台阶数”，即非零行的行数

矩阵初等变换不改变矩阵的秩

利用初等行变换话矩阵A为阶梯形矩阵B

阶梯形矩阵B非零行的行数即为A的秩

奇异矩阵？

对于n阶方阵A，若R(A)=n，称A是满秩阵，也叫非奇异矩阵；若R(A)<n，称A是降秩阵，也叫奇异矩阵。

对于满秩方阵A施加初等行变换可以转化为单位阵E。因为每对A施加一次初等行变换就相当于用一个对应的初等阵左乘A，由此可得出下面的定理：

若A是满秩方阵，则存在初等方阵 $P_1,P_2,...,P_s$ ，使得 $P_sP_s-1...P_2P_1A=E$ 。

对于满秩矩阵A，它的行最简形式是n阶单位阵E。

参考

https://wenku.baidu.com/view/5d6b777cb80d6c85ec3a87c24028915f804d8499.html

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