P2183 [国家集训队]礼物

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https://www.luogu.com.cn/problem/P2183

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有nnn件礼物，要送给mmm个人，第iii个人要收到aia_iai的礼物，答案对ppp取模
求方案数

数据范围：n≤109,m≤5,p,ai≤109n\leq 10^9,m\leq 5,p,a_i\leq 10^9n≤109,m≤5,p,ai≤109

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考虑到mmm很小，我们模拟礼物一件一件送的过程
我们从nnn个礼物中挑选出a1a_1a1件送给1
从n−a1n-a_1n−a1个礼物中挑选出a2a_2a2件送给2
从n−a1−a2n-a_1-a_2n−a1−a2个礼物中挑选出a3a_3a3件送给3
以此类推
则方案数为∏i=1mCn−∑j=1j<iaiai\prod_{i=1}^m C_{n-\sum^{j<i}_{j=1} a_i}^{a_i}∏i=1mCn−∑j=1j<iaiai
由于模数不一定是质数，用扩展卢卡斯定理即可
当然你也可以用组合的思想把式子展开合并最后得到一堆阶乘相乘的形式
时间复杂度：O(m(plogpn))O(m(plog_pn))O(m(plogpn))

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#include<cctype>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long
using namespace std;LL p,n,m,sum,a[6],res,now;
inline LL read()
{char c;LL d=1,f=0;while(c=getchar(),!isdigit(c)) if(c=='-') d=-1;f=(f<<3)+(f<<1)+c-48;while(c=getchar(),isdigit(c)) f=(f<<3)+(f<<1)+c-48;return d*f;
}
inline LL ksm(LL x,LL y,LL p)
{LL res=1;for(;y;y>>=1,(x*=x)%=p) if(y&1) (res*=x)%=p;return res;
}
inline void Exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{if(b==0) return (void)(x=1,y=0);Exgcd(b,a%b,x,y);LL tmp=x;x=y;y=tmp-a/b*y;return;
}
inline LL INV(LL a,LL p)
{LL x,y;Exgcd(a,p,x,y);return (x+p)%p;
}
inline LL Fac(LL n,LL p,LL pk)
{if(n<2) return 1;LL prod_xh=1,prod_last=1;for(LL i=1;i<=pk;i++) if(i%p) (prod_xh*=i)%=pk;prod_xh=ksm(prod_xh,n/pk,pk);for(LL i=pk*(n/pk);i<=n;i++) if(i%p) (prod_last*=i%pk)%=pk;return Fac(n/p,p,pk)*prod_xh%pk*prod_last%pk;
}
inline LL G(LL n,LL p)
{if(n<p) return 0;return G(n/p,p)+(n/p);
}
inline LL C(LL n,LL m,LL p,LL pk){return Fac(n,p,pk)*INV(Fac(m,p,pk),pk)%pk*INV(Fac(n-m,p,pk),pk)%pk*ksm(p,G(n,p)-G(m,p)-G(n-m,p),pk)%pk;}
LL A[65],B[65],tot;
inline LL Exlucas(LL n,LL m,LL p)
{LL x=p;tot=0;for(LL i=2;i*i<=x;i++)if(x%i==0){LL tmp=1;do{x/=i;tmp*=i;}while(x%i==0);B[++tot]=C(n,m,i,tmp);A[tot]=tmp;}if(x!=1){B[++tot]=C(n,m,x,x);A[tot]=x;}LL res=0,M=p;for(register int i=1;i<=tot;i++){LL Mi=M/A[i],Mi_=INV(Mi,A[i]);(res+=B[i]*Mi%M*Mi_%M)%=M;}return res;
}
signed main()
{p=read();n=read();m=read();for(register int i=1;i<=m;i++) a[i]=read(),sum+=a[i];if(n<sum) return puts("Impossible")&0;res=1;for(register int i=1;i<=m;i++){(res*=Exlucas(n,a[i],p))%=p;n-=a[i];}printf("%lld",res);
}

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