P2183 [国家集训队]礼物（扩展卢卡斯）

P2183 [国家集训队]礼物

题意：

有n个礼物，分给m个人，分给第i个人的礼物数量是wi，问送礼物的方案数。

题解：

扩展卢卡斯模板题
很容易看出和组合数有关的题目，对于总方案，完美可以将其分解为m个不同的方案数的乘积
比如样例1：4个礼物，2个人，第一个人要1个礼物，则第一个人取走礼物的方案为C41C_{4}^{1}C41，第二个人要2个礼物，方案为C32C_{3}^{2}C32,总方案为C41∗C32=12C_{4}^{1}*C_{3}^{2}=12C41∗C32=12
现在改变顺序：第二个人先拿礼物，C42C_{4}^{2}C42,然后第一个人拿礼物，C21C_{2}^{1}C21,总方案为C42∗C21=12C_{4}^{2}*C_{2}^{1}=12C42∗C21=12
完美可以发现，无论谁取走礼物，结果都是一样的，那我们只需要按照所给礼物顺序计算就行。
总方案为：Cnw1∗Cn−w1w2∗....modpC_{n}^{w_{1}}*C_{n-w_{1}}^{w_{2}}*....\bmod pCnw1∗Cn−w1w2∗....modp
本题的p不一定是质数，此时就没办法求组合数，就要用的扩展卢卡斯定理，该算法就是专门解决模数p不是质数的情况

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#include <cstdio>
using namespace std;
#define FOR(i, a, b) for (ll i= a; i <= b; ++i)
#define DEC(i, a, b) for (ll i= a; i >= b; --i)typedef long long ll;ll mod;void exgcd(ll a, ll b, ll& x, ll& y)
{if (!b) {x= 1, y= 0;return;}exgcd(b, a % b, y, x);y-= a / b * x;return;
}inline ll inv(ll n, ll p)
{ll x, y;exgcd(n, p, x, y);return (x + p) % p;
}ll qpow(ll base, ll p, ll mod)
{ll ret= 1;for (; p; p>>= 1, base= base * base % mod)if (p & 1)ret= ret * base % mod;return ret;
}ll CRT(int n, ll* a, ll* m)
{ll M= 1, ret= 0;FOR(i, 1, n) M*= m[i];FOR(i, 1, n){ll w= M / m[i];ret= (ret + a[i] * w % mod * inv(w, m[i]) % mod) % mod;}return (ret + mod) % mod;
}ll calc(ll n, ll q, ll qk)
{if (!n)return 1;ll ret= 1;FOR(i, 1, qk)if (i % q)ret= ret * i % qk;ret= qpow(ret, n / qk, qk);FOR(i, n / qk * qk + 1, n)if (i % q)ret= ret * (i % qk) % qk;return ret * calc(n / q, q, qk) % qk;
}ll multiLucas(ll n, ll m, ll q, ll qk)
{int cnt= 0;for (ll i= n; i; i/= q)cnt+= i / q;for (ll i= m; i; i/= q)cnt-= i / q;for (ll i= n - m; i; i/= q)cnt-= i / q;return qpow(q, cnt, qk) * calc(n, q, qk) % qk * inv(calc(m, q, qk), qk) % qk * inv(calc(n - m, q, qk), qk) % qk;
}ll exLucas(ll n, ll m, ll p)
{int cnt= 0;ll qk[20], a[20]; //存放所有的 q^k 和待合并答案的结果for (ll i= 2; i * i <= p; ++i) //质因数分解{if (p % i == 0) {qk[++cnt]= 1;while (p % i == 0)qk[cnt]*= i, p/= i;a[cnt]= multiLucas(n, m, i, qk[cnt]);}}if (p > 1)qk[++cnt]= p, a[cnt]= multiLucas(n, m, p, p);return CRT(cnt, a, qk); //CRT 合并答案
}
int w[20];
int main()
{ll n, m, p;scanf("%lld %lld %lld", &p, &n, &m);mod= p;int sum= 0;for (int i= 1; i <= m; i++)cin >> w[i], sum+= w[i];if (sum > n) {printf("Impossible");return 0;}ll ans= 1;for (int i= 1; i <= m; i++) {ans= ans * exLucas(n, w[i], mod) % mod;n-= w[i];}printf("%lld\n", ans);return 0;
}

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