前言

splay 是 tarjan老爷子的又一发明，解决了平衡树中的很多问题

当然，splay的内容学起来也是很复杂，于是我试着用图的方式将这个算法展示出来

splay实现的数据结构是结构体所维护的二叉树，每个节点保存父节点，儿子节点，节点权值，权值出现个数，和子树大小这几个信息

旋转过程主要由update(), rotate(), splay() 即更新函数、旋转函数、splay函数三个函数实现，其分别用来：更新旋转后的子树规模，左旋以及右旋，强制更新至根节点

rotate:

可对照代码一起理解

void rotate(int x) {int y = t[x].fa;int z = t[y].fa;int k = (t[y].child[1] == x);  // 用来判断左旋还是右旋t[z].child[(t[z].child[1] == y)] = x;t[x].fa = z;t[y].child[k] = t[x].child[k ^ 1];t[t[x].child[k ^ 1]].fa = y;t[x].child[k ^ 1] = y;t[y].fa = x;update(y);update(x);
}

splay:
可简要地分为两种情况：

对照代码：

void splay(int x, int s) {while (t[x].fa != s) {  // s 为目标根节点int y = t[x].fa, z = t[y].fa;if (z != s)(t[z].child[0] == y) ^ (t[y].child[0] == x) ? rotate(x) : rotate(y);rotate(x);}if (s == 0) root = x;
}

这四个转化并不是特别显然，但用手画画还是容易理解的

然后是5个功能函数：find(), insert(), maxnext(), delete(), kth()，分别用来：查询排名，二分插入，前继后继查找，删除节点，查询第k大，我们来一一介绍

find():
首先利用平衡树性质递归查找节点，
然后进行splay变换，
排名即为左子树大小

insert():
二分递归查找应插入位置，
然后开点，最后还有splay变换

maxnext():
首先对x进行find()查询排名，
这样x便处于根节点的位置，
其前继和后继节点也很明显

delete():
删除是一个较为复杂的操作，具体步骤如下：
首先找到这个数的前驱，把他Splay到根节点
然后找到这个数后继，把他旋转到前驱的底下
比前驱大的数是后继，在右子树
比后继小的且比前驱大的有且仅有当前数
在后继的左子树上面，
因此直接把当前根节点的右儿子的左儿子删掉就可以

kth():
查询排名第k的数，
其实和find()也很类似，
利用平衡树的性质，
二分查找即可

一、例题 p3369

题目链接：洛谷 p3369

二、思路及代码

1.思路

很经典的平衡树模板，直接套模板即可

借鉴了很多ybb的内容：https://www.cnblogs.com/cjyyb/p/7499020.html

2.代码

代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn = 201000;
struct splaytree {int fa, child[2], val, cnt, size;
} t[maxn];  // 父节点，左右子节点，权值，权值出现次数，子树大小
int root, cnt;
void update(int x) {t[x].size = t[t[x].child[0]].size + t[t[x].child[1]].size + t[x].cnt;
}
void rotate(int x) {int y = t[x].fa;int z = t[y].fa;int k = (t[y].child[1] == x);  // 用来判断左旋还是右旋t[z].child[(t[z].child[1] == y)] = x;t[x].fa = z;t[y].child[k] = t[x].child[k ^ 1];t[t[x].child[k ^ 1]].fa = y;t[x].child[k ^ 1] = y;t[y].fa = x;update(y);update(x);
}
void splay(int x, int s) {while (t[x].fa != s) {  // s 为目标根节点int y = t[x].fa, z = t[y].fa;if (z != s)(t[z].child[0] == y) ^ (t[y].child[0] == x) ? rotate(x) : rotate(y);rotate(x);}if (s == 0) root = x;
}
void find(int x) {int u = root;if (!u) return;while (t[u].child[x > t[u].val] && x != t[u].val)u = t[u].child[x > t[u].val];splay(u, 0);
}
void insert(int x) {int u = root, fa = 0;while (u && t[u].val != x) {fa = u;u = t[u].child[x > t[u].val];}if (u)t[u].cnt++;else {u = ++cnt;if (fa) t[fa].child[x > t[fa].val] = u;t[u].child[0] = t[u].child[1] = 0;t[cnt].fa = fa;t[cnt].val = x;t[cnt].cnt = 1;t[cnt].size = 1;}splay(u, 0);
}
int maxnext(int x, int f) {find(x);       // 此时 x 是根节点int u = root;  // f: 0 前继, 1: 后继if (t[u].val > x && f) return u;if (t[u].val < x && !f) return u;u = t[u].child[f];while (t[u].child[f ^ 1]) u = t[u].child[f ^ 1];return u;
}
void Delete(int x) {int last = maxnext(x, 0);int maxnet = maxnext(x, 1);splay(last, 0);splay(maxnet, last);int del = t[maxnet].child[0];if (t[del].cnt > 1) {t[del].cnt--;splay(del, 0);} elset[maxnet].child[0] = 0;
}
int kth(int x) {int u = root;while (t[u].size < x) return 0;while (1) {  // 二分查找int y = t[u].child[0];if (x > t[y].size + t[u].cnt) {x -= t[y].size + t[u].cnt;u = t[u].child[1];} else if (t[y].size >= x)u = y;elsereturn t[u].val;}
}
int main() {//   freopen("in.txt", "r", stdin);//   freopen("out.txt", "w", stdout);int n;scanf("%d", &n);insert(1e9);insert(-1e9);while (n--) {int opt, x;scanf("%d%d", &opt, &x);if (opt == 1) insert(x);if (opt == 2) Delete(x);if (opt == 3) find(x), printf("%d\n", t[t[root].child[0]].size);if (opt == 4) printf("%d\n", kth(x + 1));if (opt == 5) printf("%d\n", t[maxnext(x, 0)].val);if (opt == 6) printf("%d\n", t[maxnext(x, 1)].val);}return 0;
}

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图解splay / splay模板 / p3369

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一、例题 p3369

二、思路及代码

1.思路

2.代码

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