平面多边形凹凸判断（叉乘法）

参照《计算机图形学》一书中的描述，多边形（polygon）是由三个及以上的顶面坐标位置描述的平面图形，这些顶点由多边形的边顺序连接。多边形的一个内角由两个相邻边形成的边界之内的角。如果所有内角均小于180度则称为凸（convex）多边形，否则为凹（concave）多边形。

百度多边形凹凸的判断，主要方法有：凸包法、叉乘法（大于和小于180度的符号相反）、辛普森面积法。这里主要学习下叉乘的运用，并配上 C++ Qt 示例代码。

判断方法：为每一条边建立一个向量，使用相邻边的叉积来测试凹凸性。凸多边形的所有相邻边向量叉积同号。如果出现一些正一些负则为凹多边形。

（网上找的图，可以 ABC 分别看作 xyz。食指指向 x ，手心朝向 y 轴，大拇指向上的方向恰好是 z 的方向）

示例：

void Widget::paintEvent(QPaintEvent *)
{//顶点，第一个为凸，第二个为凹/*QVector<QPointF> points = QVector<QPointF>()<<QPointF(50,50)<<QPointF(150,50)<<QPointF(150,100)<<QPointF(100,150)<<QPointF(50,100);*/QVector<QPointF> points = QVector<QPointF>()<<QPointF(50,50)<<QPointF(150,50)<<QPointF(150,150)<<QPointF(100,100)<<QPointF(50,150);//第一个点加到尾便于计算points.append(points.first());//凹标记bool concave = false;//边向量for(int i = 0; i < points.size() - 2; i++){const QPointF &p1 = points.at(i);const QPointF &p2 = points.at(i + 1);const QPointF &p3 = points.at(i + 2);int cross_k = (p2.x() - p1.x()) * (p3.y() - p2.y()) -(p2.y() - p1.y()) * (p3.x() - p2.x());if(cross_k < 0){ //大于还是小于和边向量取的方向有关concave = true;break;}}//叉乘判断凹凸//绘制，红色凹绿色凸QPainter painter(this);painter.setBrush(concave ? Qt::red : Qt::green);painter.drawPolygon(points);
}

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