cdq分治是一种常用的降维手段，可以解决偏序问题。

题目

给定\(n\)个三元组\((x, y, z)\)，给定一个\(f(a)\)，表示所有元素\(b\)（自己不算），它的\(x,y,z\)均小于等于\(a\)的对应\(x,y,z\)，求\([0, n)\)中每种\(f\)值的个数。

\(n \leq 100000\)

\(x, y, z \leq 200000\)

简单模型

一维：仅有\(x\)：按\(x\)排序即可。

二维：有\((x, y)\)，按先\(x\)后\(y\)顺序排序，然后将\(y\)值用树状数组统计。

三维偏序：cdq分治解法

思想：类似归并排序

现将元素按\(x, y, z\)升序排序。（降一维\(x\)），然后还剩下两维，可以用归并排序的思想消去一维。

将待处理的序列分成两份，分别按\(y\)值排序和统计。（分治思想，类似逆序对）

统计：两部分中：左半部分\(x\)都比右半部分的小，因此只需要统计右半部分对左半部分的贡献即可。用树状数组统计\(z\)值。因为两边\(y\)值都是有序的，所以维护一个左边的指针，每次将\(y\)值小于等于右边当前位置的元素扔进树状数组统计，然后统计\(z\)值比它小的即可。

int p = l; //前指针
for(int i=mid+1; i<=r; i++){ //后半部分用前半部分更新for(;a[p].y<=a[i].y && p<=mid; ++p) upd(a[p].z, a[p].cnt); //把y比它小的加进树状数组，注意cnta[i].ans += ask(a[i].z); //查询x, y, z均比a[i]小的
}

时间复杂度：\(O(n log ^ 2 n)\)

注意事项

1. 处理前必须去重，因为是小于等于，要防止同样的元素被切进两个区域导致无法统计答案。最后统计答案时，要针对\(cnt\)再进行更改（详见代码）
2. 不能每次新建一个树状数组或清空树状数组，要一步一步撤销操作，否则每次都要花费\(O(n)\)时间清空，总时间复杂度变成\(O(n^2)\)。

Code

已经省略快读，快输

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 100005, K = 200005;
typedef long long ll;
struct elem{int x, y, z, ans, cnt;
}a[N], tmp[N];
int ans[N];
bool cmpx(elem a, elem b){return (a.x == b.x)?((a.y==b.y)?(a.z<b.z):(a.y<b.y)):(a.x<b.x);} //先x后y，z排序
bool cmpy(elem a, elem b){return (a.y == b.y)?(a.z<b.z):(a.y<b.y);} //先y后z排序
int n, k;
int tr[K];
inline void upd(int p, int x){ //树状数组更新if(p == 0) return ;for(;p<=k; p+=p&-p) tr[p] += x;
}
inline int ask(int p){ //树状数组前缀和int ans = 0;for(;p; p-=p&-p) ans+=tr[p];return ans;
}void solve(int l, int r){ //cdq分治if(l == r) return ;int mid = (l + r) >> 1;solve(l, mid); solve(mid+1, r); //两边排序，统计int p = l; //前指针for(int i=mid+1; i<=r; i++){ //后半部分用前半部分更新for(;a[p].y<=a[i].y && p<=mid; ++p) upd(a[p].z, a[p].cnt); //把y比它小的加进树状数组，注意cnta[i].ans += ask(a[i].z); //查询x, y, z均比a[i]小的}for(int i=l; i<p; i++) upd(a[i].z, -a[i].cnt); //清空，注意没有用的不清空merge(a+l, a+mid+1, a+mid+1, a+r+1, tmp, cmpy); //归并，同归并排序for(int i=l; i<=r; i++) a[i] = tmp[i - l];
}int main(){freopen("3810.in", "r", stdin);freopen("3810.out", "w", stdout);in(n); in(k);for(int i=1; i<=n; i++) in(a[i].x), in(a[i].y), in(a[i].z), a[i].cnt = 1;sort(a+1, a+1+n, cmpx);int p = 1;for(int i=2; i<=n; i++){ //去重，统计cntif(a[i].x == a[i-1].x && a[i].y == a[i-1].y && a[i].z == a[i-1].z) ++a[p].cnt;else a[++p] = a[i];}solve(1, p);for(int i=1; i<=p; i++) ans[a[i].ans + a[i].cnt - 1] += a[i].cnt;//有相同的答案会增加，注意自己不算for(int i=0; i<n; i++) write(ans[i]), putchar('\n');return 0;
}