分治算法基本思想

当我们求解某些问题时，由于这些问题要处理的数据相当多，或求解过程相当复杂，使得直接求解法在时间上相当长，或者根本无法直接求出。

对于这类问题，我们往往先把它分解成几个子问题，找到求出这几个子问题的解法后，再找到合适的方法，把它们组合成求整个问题的解法。

如果这些子问题还较大，难以解决，可以再把它们分成几个更小的子问题，以此类推，直至可以直接求出解为止。这就是分治策略的基本思想。

归并排序


#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+5,oo=2*1e9;
int n,L[maxn],R[maxn],a[maxn];
void merge(int l,int mid,int r){int n1=mid-l+1;int n2=r-mid;//r-(mid+1)+1for(int i=1;i<=n1;i++)L[i]=a[i+l-1];for(int i=1;i<=n2;i++)R[i]=a[i+mid];//i+(mid+1)-1L[n1+1]=oo;R[n2+1]=oo;//哨兵 int x=1,y=1;for(int i=l;i<=r;i++){if(L[x]<R[y])a[i]=L[x++];else a[i]=R[y++];}return ;
}
void solve(int l,int r){if(l>=r)return ;int mid=(l+r)/2;solve(l,mid);solve(mid+1,r);//分治 merge(l,mid,r);//合并子问题 return ;
}
int main(){cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];solve(1,n);for(int i=1;i<=n;i++)cout<<a[i]<<" ";return 0;
}

用分治算法实现逆序对

P1908 逆序对

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=5e5+5,oo=2*1e9;
int n,L[maxn],R[maxn],a[maxn];
long long ans=0;
void merge(int l,int mid,int r){int n1=mid-l+1;int n2=r-mid;//r-(mid+1)+1for(int i=1;i<=n1;i++)L[i]=a[i+l-1];for(int i=1;i<=n2;i++)R[i]=a[i+mid];//i+(mid+1)-1L[n1+1]=oo;R[n2+1]=oo;//哨兵 int x=1,y=1;for(int i=l;i<=r;i++){if(L[x]<R[y])a[i]=L[x++];else a[i]=R[y++];}x=y=1;while(y<=n2){if(L[x]>R[y])ans+=n1-x+1,y++;//计算逆序对的数量 else x++; }return ;
}
void solve(int l,int r){if(l>=r)return ;int mid=(l+r)/2;solve(l,mid);solve(mid+1,r);//分治 merge(l,mid,r);//合并子问题 return ;
}
int main(){cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];solve(1,n);cout<<ans;return 0;
}

二维偏序

定义：

形如 xi<xjx_i<x_jxi<xj 且 yi<yjy_i<y_jyi<yj 之类的约束条件，我们可以称为二维偏序。

逆序对就是一个非常经典的二位偏序。

解决：

如果按照暴力想法，我们 O(n2)O(n^2)O(n2)的时间枚举 i,ji,ji,j,这样太慢了。

处理第 iii 位时，我们已经处理过 [1,i−1]\left[ 1,i-1 \right][1,i−1] 的数量，那么我们可不可以用一个数据结构记录一下之前的情况呢？

这就引出了二维偏序。

我们把第一维从小到大排序，然后遍历，将第二位插入树状数组中，每次查询，即可解决问题。

例题：

有n个学生，第i个学生有两个技巧：x[i]x\left[ i \right]x[i] 和 y[i]y\left[ i \right ] y[i] ，不存在两个学生的技巧完全相同。

如果 x[j]≤x[i]x[j]\leq x[i]x[j]≤x[i] 且 y[j]≤[i]y[j]\leq [i]y[j]≤[i] ，那么学生 iii 就是比学生 jjj 强，学生 jjj 比学生 iii 弱。

假设总共有 aaa 个学生比第 iii 个学生弱，那么第 iii 个学生的等级就是 aaa 。

现在的问题是，依次输出：

有多少个学生的等级是 000 ？

有多少个学生的等级是 111 ？

有多少个学生的等级是 222 ？

......

有多少个学生的等级是 n−1n-1n−1 ?

输入格式

第一行，一个整数nnn。1≤n≤1000001\leq n\leq 1000001≤n≤100000。

接下来n行，第i行有两个整数x[i]x[ i ]x[i]和y[i]y[ i ]y[i]。 1≤x[i],y[i]≤10000001\leq x[i],y[i]\leq 10000001≤x[i],y[i]≤1000000

输出格式

共nnn行，每行一个整数。

输入：

1 1

5 1

7 1

3 3

5 5

输出：

1 2 1 1 0

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+5;
int n,ans=0,f[maxn];
struct node{int x,y;int cnt;
}a[maxn];
struct tree{int tr[1000005];tree(){memset(tr,0,sizeof tr);}int check(int x){int ans=0;for(;x;x-=x&(-x))ans+=tr[x];return ans;}void update(int x,int c){for(;x<=1e6;x+=x&(-x))tr[x]+=c;}
}T;
bool cmp(node x,node y){if(x.x==y.x)return x.y<y.y;return x.x<y.x;
}
int main(){cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i].x>>a[i].y;a[i].cnt=0;}sort(a+1,a+n+1,cmp);for(int i=1;i<=n;i++){a[i].cnt=T.check(a[i].y);f[a[i].cnt]++;T.update(a[i].y,1);}for(int i=0;i<=n-1;i++)printf("%d\n",f[i]);return 0;
}

三维偏序（CDQ分治）

P3810 【模板】三维偏序（陌上花开）

这就是三维偏序的经典题，

首先看二维偏序(x,y)(x,y)(x,y),

我们对xxx进行排序后，就只用考虑yyy，利用树状数组就可以求得答案

同理，我们也需要一些转化

我们可以参考二维偏序，对一维排序，对二维分治，对三维使用树状数组就可以求得答案

但本题会有重复的情况，我们只用在处理前对数组去重即可

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+5,maxm=2*1e5+5;
int n,k,f[maxn],len=1;
struct node{int x,y,z,cnt,num;
}a[maxn];
struct tree{int tr[maxm];tree(){memset(tr,0,sizeof tr);}void update(int x,int c){for(;x<=k;x+=(x&(-x)))tr[x]+=c;}int ask(int x){int ans=0;for(;x;x-=(-x)&x)ans+=tr[x];return ans;}
}T;
bool cmp(node x,node y){if(x.x==y.x&&x.y==y.y)return x.z<y.z;else if(x.x==y.x)return x.y<y.y;return x.x<y.x;
}
bool cmp1(node x,node y){if(x.y==y.y)return x.z<y.z;return x.y<y.y;
}
void merge(int l,int mid,int r){int n1=mid-l+1;int n2=r-mid;sort(a+l,a+mid+1,cmp1);sort(a+mid+1,a+r+1,cmp1);vector<int>op;for(int i=l,j=mid+1;j<=r;j++){while(a[i].y<=a[j].y&&i!=mid+1){T.update(a[i].z,a[i].num);op.push_back(i);i++;}a[j].cnt+=T.ask(a[j].z);}for(int i=0;i<op.size();i++){T.update(a[op[i]].z,a[op[i]].num*(-1));}return ;
}
void solve(int l,int r){if(l==r)return ;int mid=(l+r)/2;solve(l,mid);solve(mid+1,r);merge(l,mid,r);return ;
}
int main()
{cin>>n>>k;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i].x>>a[i].y>>a[i].z;a[i].cnt=0;a[i].num=1;}sort(a+1,a+n+1,cmp);for(int i=2;i<=n;i++){if(a[len].x==a[i].x&&a[len].y==a[i].y&&a[len].z==a[i].z){a[len].num++;}else a[++len]=a[i];}solve(1,len);for(int i=1;i<=len;i++)f[a[i].cnt+a[i].num-1]+=a[i].num;for(int i=0;i<=n-1;i++)printf("%d\n",f[i]);return 0;
}

例题：

P4390 [BOI2007]Mokia 摩基亚

对于它询问以左下角为 (x1,y1)(x1,y1)(x1,y1) ,右上角为 (x2,y2)(x2,y2)(x2,y2) 的矩阵内所有格子的权值和,我们可以通过容斥原理转化为 [x1,y1,x2,y2]=[1,1,x2,y2]−[1,1,x1−1,y2]−[1,1,x2,y1−1]+[1,1,x1−1,y1−1][x1,y1,x2,y2]=[1,1,x2,y2]-[1,1,x1-1,y2]-[1,1,x2,y1-1]+[1,1,x1-1,y1-1][x1,y1,x2,y2]=[1,1,x2,y2]−[1,1,x1−1,y2]−[1,1,x2,y1−1]+[1,1,x1−1,y1−1]

实现中还有一些细节问题要注意

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2*1e6+5,maxm=2*1e6+5;
int s,w,op,len,qx1,qx2,qy1,qy2,last=1;
struct node{int t,x,y,v,cnt;bool is;
}a[maxn];
bool cmp(node x,node y){if(x.x==y.x)return x.y<y.y;return x.x<y.x;
}
bool cmp2(node x,node y){if(x.t==y.t&&x.x==y.x)return x.y<y.y;if(x.t==y.t)return x.x<y.x;return x.t<y.t;
}
struct Tree{int tr[maxm];Tree(){memset(tr,0,sizeof tr);}int ask(int x){if(x==0)return 0;int ans=0;for(;x;x-=(-x)&x)ans+=tr[x];return ans;}void update(int x,int c){for(;x<=w;x+=x&(-x))tr[x]+=c;return ;}
}T;
void merge(int l,int mid,int r){sort(a+l,a+mid+1,cmp);sort(a+mid+1,a+r+1,cmp);vector<int>opp;for(int i=l,j=mid+1;j<=r;j++){while(a[i].x<a[j].x&&i!=mid+1){T.update(a[i].y,a[i].v);opp.push_back(i);i++;}a[j].cnt+=T.ask(a[j].y-1);}for(int i=0;i<opp.size();i++){T.update(a[opp[i]].y,a[opp[i]].v*(-1));}return ;
}
void solve(int l,int r){if(l==r)return ;int mid=(l+r)/2;solve(l,mid);solve(mid+1,r);merge(l,mid,r);return ;
}
int main(){cin>>s>>w;w++;while(1){cin>>op;if(op==3)break;if(op==1){len++;cin>>a[len].x>>a[len].y>>a[len].v;a[len].t=len;a[len].cnt=0;a[len].is=false;continue;}cin>>qx1>>qy1>>qx2>>qy2;a[++len]={len,qx2+1,qy2+1,0,0,true};a[++len]={len,qx1,qy2+1,0,0,true};a[++len]={len,qx2+1,qy1,0,0,true};a[++len]={len,qx1,qy1,0,0,true};}solve(1,len);sort(a+1,a+len+1,cmp2);for(int i=1;i<=len;i++){if(a[i].is){cout<<a[i+3].cnt-a[i+2].cnt-a[i+1].cnt+a[i].cnt<<endl;i+=3;}}return 0;
}


#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+5,oo=2*1e9;
int n,L[maxn],R[maxn],a[maxn];
void merge(int l,int mid,int r){int n1=mid-l+1;int n2=r-mid;//r-(mid+1)+1for(int i=1;i<=n1;i++)L[i]=a[i+l-1];for(int i=1;i<=n2;i++)R[i]=a[i+mid];//i+(mid+1)-1L[n1+1]=oo;R[n2+1]=oo;//哨兵 int x=1,y=1;for(int i=l;i<=r;i++){if(L[x]<R[y])a[i]=L[x++];else a[i]=R[y++];}return ;
}
void solve(int l,int r){if(l>=r)return ;int mid=(l+r)/2;solve(l,mid);solve(mid+1,r);//分治 merge(l,mid,r);//合并子问题 return ;
}
int main(){cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];solve(1,n);for(int i=1;i<=n;i++)cout<<a[i]<<" ";return 0;
}

用分治算法实现逆序对

P1908 逆序对

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=5e5+5,oo=2*1e9;
int n,L[maxn],R[maxn],a[maxn];
long long ans=0;
void merge(int l,int mid,int r){int n1=mid-l+1;int n2=r-mid;//r-(mid+1)+1for(int i=1;i<=n1;i++)L[i]=a[i+l-1];for(int i=1;i<=n2;i++)R[i]=a[i+mid];//i+(mid+1)-1L[n1+1]=oo;R[n2+1]=oo;//哨兵 int x=1,y=1;for(int i=l;i<=r;i++){if(L[x]<R[y])a[i]=L[x++];else a[i]=R[y++];}x=y=1;while(y<=n2){if(L[x]>R[y])ans+=n1-x+1,y++;//计算逆序对的数量 else x++; }return ;
}
void solve(int l,int r){if(l>=r)return ;int mid=(l+r)/2;solve(l,mid);solve(mid+1,r);//分治 merge(l,mid,r);//合并子问题 return ;
}
int main(){cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];solve(1,n);cout<<ans;return 0;
}

二维偏序

定义：

形如 xi<xjx_i<x_jxi<xj 且 yi<yjy_i<y_jyi<yj 之类的约束条件，我们可以称为二维偏序。

逆序对就是一个非常经典的二位偏序。

解决：

如果按照暴力想法，我们 O(n2)O(n^2)O(n2)的时间枚举 i,ji,ji,j,这样太慢了。

处理第 iii 位时，我们已经处理过 [1,i−1]\left[ 1,i-1 \right][1,i−1] 的数量，那么我们可不可以用一个数据结构记录一下之前的情况呢？

这就引出了二维偏序。

我们把第一维从小到大排序，然后遍历，将第二位插入树状数组中，每次查询，即可解决问题。

例题：

有n个学生，第i个学生有两个技巧：x[i]x\left[ i \right]x[i] 和 y[i]y\left[ i \right ] y[i] ，不存在两个学生的技巧完全相同。

如果 x[j]≤x[i]x[j]\leq x[i]x[j]≤x[i] 且 y[j]≤[i]y[j]\leq [i]y[j]≤[i] ，那么学生 iii 就是比学生 jjj 强，学生 jjj 比学生 iii 弱。

假设总共有 aaa 个学生比第 iii 个学生弱，那么第 iii 个学生的等级就是 aaa 。

现在的问题是，依次输出：

有多少个学生的等级是 000 ？

有多少个学生的等级是 111 ？

有多少个学生的等级是 222 ？

......

有多少个学生的等级是 n−1n-1n−1 ?

输入格式

第一行，一个整数nnn。1≤n≤1000001\leq n\leq 1000001≤n≤100000。

接下来n行，第i行有两个整数x[i]x[ i ]x[i]和y[i]y[ i ]y[i]。 1≤x[i],y[i]≤10000001\leq x[i],y[i]\leq 10000001≤x[i],y[i]≤1000000

输出格式

共nnn行，每行一个整数。

输入：

1 1

5 1

7 1

3 3

5 5

输出：

1 2 1 1 0

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+5;
int n,ans=0,f[maxn];
struct node{int x,y;int cnt;
}a[maxn];
struct tree{int tr[1000005];tree(){memset(tr,0,sizeof tr);}int check(int x){int ans=0;for(;x;x-=x&(-x))ans+=tr[x];return ans;}void update(int x,int c){for(;x<=1e6;x+=x&(-x))tr[x]+=c;}
}T;
bool cmp(node x,node y){if(x.x==y.x)return x.y<y.y;return x.x<y.x;
}
int main(){cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i].x>>a[i].y;a[i].cnt=0;}sort(a+1,a+n+1,cmp);for(int i=1;i<=n;i++){a[i].cnt=T.check(a[i].y);f[a[i].cnt]++;T.update(a[i].y,1);}for(int i=0;i<=n-1;i++)printf("%d\n",f[i]);return 0;
}

三维偏序（CDQ分治）

P3810 【模板】三维偏序（陌上花开）

这就是三维偏序的经典题，

首先看二维偏序(x,y)(x,y)(x,y),

我们对xxx进行排序后，就只用考虑yyy，利用树状数组就可以求得答案

同理，我们也需要一些转化

我们可以参考二维偏序，对一维排序，对二维分治，对三维使用树状数组就可以求得答案

但本题会有重复的情况，我们只用在处理前对数组去重即可

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+5,maxm=2*1e5+5;
int n,k,f[maxn],len=1;
struct node{int x,y,z,cnt,num;
}a[maxn];
struct tree{int tr[maxm];tree(){memset(tr,0,sizeof tr);}void update(int x,int c){for(;x<=k;x+=(x&(-x)))tr[x]+=c;}int ask(int x){int ans=0;for(;x;x-=(-x)&x)ans+=tr[x];return ans;}
}T;
bool cmp(node x,node y){if(x.x==y.x&&x.y==y.y)return x.z<y.z;else if(x.x==y.x)return x.y<y.y;return x.x<y.x;
}
bool cmp1(node x,node y){if(x.y==y.y)return x.z<y.z;return x.y<y.y;
}
void merge(int l,int mid,int r){int n1=mid-l+1;int n2=r-mid;sort(a+l,a+mid+1,cmp1);sort(a+mid+1,a+r+1,cmp1);vector<int>op;for(int i=l,j=mid+1;j<=r;j++){while(a[i].y<=a[j].y&&i!=mid+1){T.update(a[i].z,a[i].num);op.push_back(i);i++;}a[j].cnt+=T.ask(a[j].z);}for(int i=0;i<op.size();i++){T.update(a[op[i]].z,a[op[i]].num*(-1));}return ;
}
void solve(int l,int r){if(l==r)return ;int mid=(l+r)/2;solve(l,mid);solve(mid+1,r);merge(l,mid,r);return ;
}
int main()
{cin>>n>>k;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i].x>>a[i].y>>a[i].z;a[i].cnt=0;a[i].num=1;}sort(a+1,a+n+1,cmp);for(int i=2;i<=n;i++){if(a[len].x==a[i].x&&a[len].y==a[i].y&&a[len].z==a[i].z){a[len].num++;}else a[++len]=a[i];}solve(1,len);for(int i=1;i<=len;i++)f[a[i].cnt+a[i].num-1]+=a[i].num;for(int i=0;i<=n-1;i++)printf("%d\n",f[i]);return 0;
}

例题：

P4390 [BOI2007]Mokia 摩基亚

实现中还有一些细节问题要注意

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2*1e6+5,maxm=2*1e6+5;
int s,w,op,len,qx1,qx2,qy1,qy2,last=1;
struct node{int t,x,y,v,cnt;bool is;
}a[maxn];
bool cmp(node x,node y){if(x.x==y.x)return x.y<y.y;return x.x<y.x;
}
bool cmp2(node x,node y){if(x.t==y.t&&x.x==y.x)return x.y<y.y;if(x.t==y.t)return x.x<y.x;return x.t<y.t;
}
struct Tree{int tr[maxm];Tree(){memset(tr,0,sizeof tr);}int ask(int x){if(x==0)return 0;int ans=0;for(;x;x-=(-x)&x)ans+=tr[x];return ans;}void update(int x,int c){for(;x<=w;x+=x&(-x))tr[x]+=c;return ;}
}T;
void merge(int l,int mid,int r){sort(a+l,a+mid+1,cmp);sort(a+mid+1,a+r+1,cmp);vector<int>opp;for(int i=l,j=mid+1;j<=r;j++){while(a[i].x<a[j].x&&i!=mid+1){T.update(a[i].y,a[i].v);opp.push_back(i);i++;}a[j].cnt+=T.ask(a[j].y-1);}for(int i=0;i<opp.size();i++){T.update(a[opp[i]].y,a[opp[i]].v*(-1));}return ;
}
void solve(int l,int r){if(l==r)return ;int mid=(l+r)/2;solve(l,mid);solve(mid+1,r);merge(l,mid,r);return ;
}
int main(){cin>>s>>w;w++;while(1){cin>>op;if(op==3)break;if(op==1){len++;cin>>a[len].x>>a[len].y>>a[len].v;a[len].t=len;a[len].cnt=0;a[len].is=false;continue;}cin>>qx1>>qy1>>qx2>>qy2;a[++len]={len,qx2+1,qy2+1,0,0,true};a[++len]={len,qx1,qy2+1,0,0,true};a[++len]={len,qx2+1,qy1,0,0,true};a[++len]={len,qx1,qy1,0,0,true};}solve(1,len);sort(a+1,a+len+1,cmp2);for(int i=1;i<=len;i++){if(a[i].is){cout<<a[i+3].cnt-a[i+2].cnt-a[i+1].cnt+a[i].cnt<<endl;i+=3;}}return 0;
}

分治算法，逆序对，三维偏序与CDQ分治相关推荐

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分治算法，逆序对，三维偏序与CDQ分治

分治算法基本思想

归并排序

用分治算法实现逆序对

二维偏序

定义：

解决：

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三维偏序（CDQ分治）

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用分治算法实现逆序对

二维偏序

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三维偏序（CDQ分治）

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分治算法，逆序对，三维偏序与CDQ分治相关推荐

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