概率图模型-原理与技术 第二章 基础知识 学习笔记
概率图模型-原理与技术 第二章 基础知识 学习笔记
概率图模型-原理与技术 总目录
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本章主要回顾了概率论与图论的基础知识,是后面学习的基石。
1.概率论
1.1 空间与事件
形式上,假定存在一个可能结果的约定空间来定义事件,空间用ΩΩ表示,事件集合用SS表示,代表着所有可能的事件。
比如掷色子,可能出现1,2,3,4,5,6。那么空间ΩΩ就可以表示成{1,2,3,4,5,6}。
事件集合SS中任何一个事件都是ΩΩ的子集:
事件1:抛出的结果是1,即α={1}\alpha= \{1\},α∈S⊂Ω\alpha \in S \subset Ω
事件2:抛出的结果奇数,即β={1,3,5}\beta= \{1,3,5\},β∈S⊂Ω\beta \in S \subset Ω
特别的,还有平凡事件Ω,∅ Ω,\varnothing
事件空间满足的三个性质:
1.Ω∈S,∅∈S Ω \in S,\varnothing \in S
2.如果α∈Sβ∈S\alpha \in S \beta \in S ,那么α⋂β∈S\alpha \bigcap \beta \in S
如上例1,2α⋂β={1}∈S\alpha \bigcap \beta=\{1\} \in S
3.如果α∈S\alpha \in S,那么Ω−α∈SΩ-\alpha \in S
如上例2,β∈S\beta \in S,那么Ω−β={2,4,6}∈SΩ-\beta =\{2,4,6\}\in S,即事件抛出的结果偶数。
1.2 概率与分布
事件α\alpha的概率P(α)P(\alpha)量化了事件α\alpha发生的可信度,当P(α)=1P(\alpha)=1时,可以确定事件α\alpha中总有一个结果会发生,但如果P(α)=0P(\alpha)=0,就认为α\alpha中的所有结果都不会发生。
定义在事件空间(Ω,S)(Ω,S)的概率分布是事件集合S到实数R上的一个映射,且满足:
1.对所有α∈S,P(α)≥0\alpha \in S,P(\alpha)\geq0
概率为0就已经表示一定不会发生,所以概率为负数没有意义。
2.P(Ω)=1P(Ω) = 1
平凡事件包括了所有可能的结果,其中有且只有一个必然会发生,所以概率为1。
3.如果α,β∈S\alpha,\beta \in S 且α⋂β=∅\alpha \bigcap \beta =\varnothing ,那么P(α⋃β)=P(α)+P(β)P(\alpha \bigcup \beta)=P(\alpha)+P(\beta)
一般情况下P(α⋃β)=P(α)+P(β)+P(α⋂β)P(\alpha \bigcup \beta)=P(\alpha)+P(\beta)+P(\alpha \bigcap \beta),由于P(α⋂β)=P(∅)=0P(\alpha \bigcap \beta)=P(\varnothing)=0,所以写成上式。
假设色子是均匀的,即抛出1-6的可能性是相同的,上述性质如下表:
事件 | 描述 | 概率 | 解释 |
---|---|---|---|
{1} | α\alpha | 1/6 | 包含6种中的1种可能 |
{3,5} | β\beta | 1/3 | 包含6种中的2种可能 |
{1,2,3,4,5,6} | Ω | 1 | 包含所有可能,必然发生其中一种 |
{} | ∅\varnothing | 0 | 不包含任何可能,永远不会发生 |
{1,3,5} | α⋃β\alpha \bigcup \beta | 1/2 | 包含6种中的3种可能 |
1.3 条件概率与贝叶斯法则
条件概率考虑两个事件的相关性,如果一个事件已经发生了,那么是否会改变另一个事件发生的概率呢?
用一个实例来解释一下,比如黑盒子中有3个球,两个黑球一个白球,采用不放回\color{red}{不放回}的方式摸球。
事件:第一次摸出黑球。
事件β\beta:第二次摸出黑球。
那么:
P(α)=23P(\alpha)=\frac{2}{3}
P(β)=23∗12+13∗22=23P(\beta)=\frac{2}{3}*\frac{1}{2}+\frac{1}{3}*\frac{2}{2}=\frac{2}{3}
事件α⋂β\alpha \bigcap \beta:第一次摸出黑球且第二次也摸出黑球
P(α⋂β)=23∗12=13P(\alpha \bigcap \beta)=\frac{2}{3}*\frac{1}{2}=\frac{1}{3}
下面的问题是,如果已知第一次摸出的是黑球,那么第二次摸出黑球的概率是多少?
即事件β|α\beta | \alpha:已知第一次摸出的是黑球,第二次摸出黑球\
依常识老分析,既然已知第一次摸的是黑球,那么可以假设袋子中只有一个黑球和一个白球,那么从袋子中摸出黑球的概率就应该是12\frac{1}{2}。
考虑如下表:
事件 | 第一次 | 第二次 | 概率 |
---|---|---|---|
1 | 白 | 白 | 0 |
2 | 白 | 黑\color{blue}黑 | 1/3 |
3 | 黑\color{red}黑 | 白 | 1/3 |
4 | 黑\color{red}黑 | 黑\color{blue}黑 | 1/3 |
当已知第一次摸出黑球,对应着上表事件3、4,此时第二次摸出黑球,对应事件4,那么此时的条件概率应该就是P(β|α)=P(事件4)P(事件3)+P(事件4)=P(α⋂β)P(α)=12P(\beta | \alpha)=\frac{P(事件4)}{P(事件3)+P(事件4)}=\frac{P(\alpha \bigcap \beta)}{P(\alpha)}=\frac{1}{2}。
条件概率也满足概率的三点性质,具体看习题2.4。
可以看出,如果一个事件已经发生,是有可能影响另一个事件发生的概率的。
由条件概率公式可以得到
P(α⋂β)=P(β|α)P(α)P(\alpha \bigcap \beta)=P(\beta | \alpha)P(\alpha)
交换事件的位置
P(α⋂β)=P(α|β)P(β)P(\alpha \bigcap \beta)=P(\alpha| \beta)P(\beta)
由此推出贝叶斯规则
P(α|β)=P(β|α)P(α)P(β)P(\alpha| \beta)=\frac{P(\beta | \alpha)P(\alpha)}{P(\beta)}
贝叶斯规则的重点在已知某条件概率P(β|α)P(\beta | \alpha)可以推出它的逆条件概率P(\alpha | \beta)。
这里书上的例子十分清楚,即讲述了计算方法,也解释了逆条件概率可能包涵的意义。
1.4 随机变量
上面讨论概率时都是用的事件,但是用事件描述时十分麻烦,每个事件都需要一个符号。如果用一种泛化的表示,在表示时不再去注重具体值,而是某一种属性,这样会使得描述时更加简洁,这就是随机变量。
考虑上面的例子,用随机变量X表示第一次摸出球的颜色,随机变量Y表示第一次摸出球的颜色。
那么当X=黑球时,代表着第一次摸出了黑球,Y=黑球时,代表着第二次摸出了黑球。
此时用X,Y两个符号就能描述摸两次球的所有可能事件。
1.4.1 随机变量的联合分布
很多情况下,我们对多个随机变量同时的取值有兴趣,这个时候就要用到联合分布。
如上例随机变量X,Y的联合分布
联合分布 | X=黑球 | X=白球 | P(Y) |
---|---|---|---|
Y=黑球 | 1/3 | 1/3 | 2/3 |
Y=白球 | 1/3 | 0 | 1/3 |
P(X) | 2/3 | 1/3 |
其中我们对每一行求和来计算Y的边缘分布,对每一列求和来计算X的边缘分布。
当给出联合分布时,可以直接查出所有随机变量在任何取值下的概率,但是由于联合分布表太大,一般情况分布表不会以全部属性的联合分布给出。
1.4.2 随机变量的条件分布
和事件的条件概率一样,随机变量也有条件分布,即在某一些随机变量在特定取值时,其他随机变量的概率分布。
条件分布公式 P(X|Y)=P(X,Y)P(Y)P(X|Y)=\frac{P(X,Y)}{P(Y)}
条件分布 | X=黑球(条件) | X=白球(条件) |
---|---|---|
Y=黑球 | 1/2 | 1 |
Y=白球 | 1/2 | 0 |
这里与事件不同的是,随机变量用P(X,Y)来表示联合分布,而事件用 P(α⋂β)P(\alpha \bigcap \beta)来表示两个事件同时发生。
1.5 独立性
如果一个事件(随机变量)的发生对另一个事件(随机变量)发生概率不产生影响,则认为这两个事件(随机变量)相互独立。
对于事件P(α|β)=P(α)P(\alpha|\beta)=P(\alpha),事件α\alpha与β\beta独立。
对于随机变量P(X|Y)=P(X)P(X | Y)=P(X),随机变量X与Y独立。
独立是一个很有用的性质,但是现实中很少碰见独立的事件。更普遍的情况是,在给定额外的事件时,两个事件相互独立,即事件(随机变量)的条件独立。
随机变量条件独立的几点性质
具体描述见习题2.7。
2 图
2.1 有向与无向
图由节点和边组成,每条边连接着两个节点,记作κ{χ,ε}\kappa\{\chi ,\varepsilon\}。边可能有方向。也可能没方向,如果一个图包含有向的边,那么这个图就是有向图,否则就是无向图。
一个图的例子
2.2 子图与团
对任意的X⊂χX \subset \chi,ε′\varepsilon'表示对任意x,y∈Xx,y \in X的所有边,那么κ{X,ε′}\kappa\{X ,\varepsilon'\}是κ{χ,ε}\kappa\{\chi ,\varepsilon\}在X上的导出子图。
如果X中任意两个节点都有一条边,则称X上的子图为完全子图。集合X称为团;对于节点的任意超集Y⊃XY \supset X,如果Y不是团,那么X称为一个极大团。
若团中节点个数为n个,那么边数应该是C2nC_n^2。
2.3 路径与迹
在考虑边的方向时(仅能沿着有向边方向和无向边移动),如果一个节点X能沿着边到达节点Y,则称X到Y经过的所有节点的顺序为一条路径。
在不考虑边的方向时,如果一个节点X能沿着边到达节点Y,则称X到Y经过的所有节点的顺序为一条迹。
所以路径一定是一条迹,但迹不一定是路径。
如果一条路径的首尾节点是相同的,则说明图中有圈,如果图不包含圈,那么这个图是一个无圈图。
一个包含有向边和无向边的无圈图叫做部分有向无圈图,部分有向无圈图的具体介绍在习题2.23。
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