问题

A = [1 2 3 4] ，求A的自相关系数。
求解过程如下图：

求得结果为：[4 11 20 30 20 11 4]
自相关的结果为2N-1个，关于N对称。

理解matlab中的xcorr

1. 求两个序列的互相关

x = [1 2 3 4 5 6 7 8];
[r,lags] = xcorr(x);

求得：

r = [8  23  44  70  100 133 168 204 168 133 100 70  44  23 8]
lags = [-7 -6  -5  -4  -3  -2  -1  0   1   2   3   4   5   6   7]

lags就是偏移量，默认从最小的偏移量开始，信号长度是8，往左偏移最多7位，往右偏移做多也是7位。也理解了为什么求出来的自相关结果的长度位15=2N-1。

2. 求给定偏移量不大于p的自相关函数

x = [1 2 3 4 5 6 7 8];
[r,lags] = xcorr(x, 4);

这里设定最大偏移量不大于4，考虑正负偏移和0，所以对于指定偏移范围的自相关计算，其结果为2p+1个。

lags = [-4  -3  -2  -1  0   1   2   3   4]

r 的计算如法炮制：

r = [70 100 133 168 204 168 133 100 70]

3. 计算无偏估计及其他

Matlab提供的xcorr提供了一个归一化选项：

在谱估计的时候，经常要用到自相关函数的有偏估计，下面求一个。

[r,lags] = xcorr(x, 4, 'biased');

按照上面的公式，N为信号长度，可以猜测r的结果为：

[70/8    100/8   133/8   168/8   204/8   168/8   133/8   100/8   70/8]

使用matlab计算：

>> xcorr(x, 4, 'biased')ans =列 1 至 88.7500   12.5000   16.6250   21.0000   25.5000   21.0000   16.6250   12.5000列 98.7500

一模一样。

4. 互相关的例子

>> x = [1 2 3 4];
>> y = [1 4 9 16];
>> xcorr(x, y)ans =16.0000   41.0000   70.0000  100.0000   50.0000   19.0000    4.0000K>>

怎么算的？跟上面一样，自行脑补。

5. 题外话

matlab的帮助文档写得非常好，比外面乱七八糟抄来抄去说不清的博客好太多了，还权威。

参考：xcorr 互相关

自相关的概念的理解也可以参考这个博文，个人认为写得挺好。

还有博主自己手写了一个求自相关函数的算法，并与matlab提供的xcorr做了对比：
MATLAB_XCORR_互相关函数的讨论

C++版本：
xcorr 自相关 c++实现

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