大学物理公式

描述质点运动的物理量

位矢

公式: r⃗=r⃗(t)\vec{r} = \vec{r}(t)r=r(t)

位置矢量是描述某一时刻质点所在空间位置的物理量。

位移

公式: Δr⃗=r2⃗−r1⃗\Delta{\vec{r}} = \vec{r_2} - \vec{r_1}Δr=r2−r1

位移是描述质点位置变化的物理量。

速度

公式:

平均速度 vˉ=ΔsΔt\displaystyle \bar{v} = \frac{\Delta{s}}{\Delta{t}}vˉ=ΔtΔs
速度 v=lim⁡Δt→0Δr⃗Δt=drdt\displaystyle v = \lim_{\Delta{t}\rightarrow0}\frac{\Delta{\vec{r}}}{\Delta{t}} = \frac{dr}{dt}v=Δt→0limΔtΔr=dtdr

速度是描述质点运动方向和运动快慢的物理量。

加速度

公式:

平均加速度 a⃗ˉ=Δv⃗Δt\displaystyle \bar{\vec{a}} = \frac{\Delta{\vec{v}}}{\Delta{t}}aˉ=ΔtΔv
瞬时加速度，简称加速度a=lim⁡Δt→0Δv⃗Δt=dv⃗dt=d2r⃗dt2\displaystyle a = \lim_{\Delta{t}\rightarrow0}\frac{\Delta{\vec{v}}}{\Delta{t}} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}a=Δt→0limΔtΔv=dtdv=dt2d2r

加速度是描述质点速度方向和速度大小变化快慢的物理量。

圆周运动的角量描述

角位置

公式: θ=θ(t)\theta = \theta(t)θ=θ(t)

一质点在OxyO_{xy}Oxy平面内，绕圆心OOO做圆周运动，在某一时刻ttt位于点A，半径OAOAOA与坐标轴OxO_xOx的夹角的为θ\thetaθ,角θ\thetaθ称为角位置，其值随时间t而变化，是时间t的函数，即θ=θ(t)\theta = \theta(t)θ=θ(t)

PS: 式θ=θ(t)\theta = \theta(t)θ=θ(t)称为质点做圆周运动时的运动方程。

在国际单位制中，角位置的单位为radradrad(弧度)。

角位移

表示: Δθ\Delta{\theta}Δθ

设在时刻t+Δtt + \Delta{t}t+Δt，质点到达点BBB，半径OBOBOB与OxO_xOx的夹角为θ+Δθ\theta +\Delta{\theta}θ+Δθ。在时间Δt\Delta{t}Δt内，质点转过的角度Δθ\Delta{\theta}Δθ称为质点的角位移。角位移不仅有大小而且有方向。一般规定质点沿逆时针方向转动时角位移取正值，沿顺时针方向转动时角位移取负值。

在国际单位制中，角位移的单位为radradrad(弧度)。

角速度

公式: ω=lim⁡Δt→0ΔθΔt=dθdt\displaystyle \omega = \lim_{\Delta{t}\rightarrow0}\frac{\Delta{\theta}}{\Delta{t}} = \frac{d\theta}{dt}ω=Δt→0limΔtΔθ=dtdθ

角位移Δθ\Delta{\theta}Δθ与对应时间Δt\Delta{t}Δt之比，称为在Δt\Delta{t}Δt时间内质点对点OOO的平均角角速度，平均角加速度的极限值称为瞬时角加速度，简称角加速度，用ω\omegaω表示，即ω=lim⁡Δt→0ΔθΔt=dθdt\omega = \lim_{\Delta{t}\rightarrow0}\frac{\Delta{\theta}}{\Delta{t}} = \frac{d\theta}{dt}ω=limΔt→0ΔtΔθ=dtdθ。

在国际单位制中，角速度的单位为rad/srad/srad/s(弧度每秒)。

角加速度

公式: α=dωdt=lim⁡Δt→0ΔωΔt=d2θdt2\displaystyle \alpha = \frac{d\omega}{dt} = \lim_{\Delta{t}\rightarrow0}\frac{\Delta{\omega}}{\Delta{t}} = \frac{d^2\theta}{dt^2}α=dtdω=Δt→0limΔtΔω=dt2d2θ

牛顿运动定律及其应用

1. 牛顿第一定律

任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到外力迫使它改变这种状态为止，即F=0F = 0F=0时，有v=常矢量v = 常矢量v=常矢量。

2. 牛顿第二定律

物体所获得的加速度的大小与其所受合外力的大小成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与合外力的方向相同，即 F=ma⃗=mdv⃗dt\displaystyle F = m\vec{a} = m \frac{d\vec{v}}{dt}F=ma=mdtdv。

在国际单位制中，力FFF的单位为NNN(牛顿)。

3. 牛顿第三定律

当物体A以力FFF作用在物体B上时，物体B必定同时以力F′F'F′作用在物体A上，FFF和F′F'F′在一条直线上，大小相等，方向相反，即F=−F′F = -F'F=−F′。

PS: 牛顿第三定律中的作用力与反作用力是指存在相互作用的两个物体受的力之间的联系，作用力与放反作用力是分别作用在不同物体上的，尽管它们的数值相等，方向相反，但并不抵消，它们将同时存在或同时消失，而且是同一性质的力，如作用力是摩擦力，反作用力也一定是摩擦力，绝不可能是其他性质的力。

万有引力

公式: F=−G0m1m2r2er⃗\displaystyle F = -G_0\frac{m_1m_2}{r^2}\vec{e_r}F=−G0r2m1m2er

重力

公式: G=mg⃗G = m\vec{g}G=mg

守恒定理

机械能

机械能 = 动能 + 势能

功

公式:

元功 dA=F⃗⋅dr⃗=Fcos⁡θ∣dr⃗∣\displaystyle dA = \vec{F} \cdot d\vec{r} = F\cos{\theta}|d\vec{r}|dA=F⋅dr=Fcosθ∣dr∣
做功 A=Fscos⁡θ=∫ABFcos⁡θds\displaystyle A = Fs\cos{\theta} = \int^{B}_{A}{F\cos{\theta}ds}A=Fscosθ=∫ABFcosθds

在国际的单位制中，功的单位为JJJ(焦耳)。

动量

公式: p=mv\displaystyle p = mvp=mv

动量（Momentum）又称线性动量（Linear Momentum）。在经典力学中，动量（是指国际单位制中的单位为kg·m/s ，量纲MLT⁻¹）表示为物体的质量和速度的乘积，是与物体的质量和速度相关的物理量，指的是运动物体的作用效果。动量也是矢量，它的方向与速度的方向相同。

功率

公式: 功率 P=lim⁡Δt→0ΔAΔt=dAdt\displaystyle P = \lim_{\Delta{t}\rightarrow0}\frac{\Delta{A}}{\Delta{t}} = \frac{dA}{dt}P=Δt→0limΔtΔA=dtdA

功率是表征做功快慢的物理量。功率的定义是力在单位时间内所做的功，如果在Δt\Delta{t}Δt内，力对物体做功ΔA\Delta{A}ΔA，则pˉ=ΔAΔt\bar{p} = \frac{\Delta{A}}{\Delta{t}}pˉ=ΔtΔA。

动能

公式: Ek=12mv2\displaystyle E_k = \frac{1}{2}mv^2Ek=21mv2

定义: 物体由于运动而具有的能量，称为物体的动能。它的大小定义为物体质量与速度平方乘积的二分之一。

势能

表示: EPE_PEP

在物体从点A移动到点B的过程中，保守力做功总是等于某个位置函数之差，而功总是与能量变化相联系，因此，这个位置函数也应该具有能量的意义，将其称为势能函数，简称势能，以EpE_pEp表示，即A=∫ABF⋅dr⃗=EpA−EpBA = \int^B_A{F \cdot d\vec{r} = E_{pA} - E_{pB}}A=∫ABF⋅dr=EpA−EpB。

冲量

表示: III(有时也记作JJJ)

冲量。在经典力学中，物体所受外合力的冲量等于它的动量的增量（即末动量减去初动量），叫做动量定理。和动量是状态量不同，冲量是一个过程量。一个恒力的冲量指的是这个力与其作用时间的乘积。冲量表述了对质点作用一段时间的积累效应的物理量，是改变质点机械运动状态的原因。

冲量的量纲和单位都与动量一样。(kg⋅m/skg \cdot m/skg⋅m/s或N⋅sN\cdot sN⋅s).

PS: 一个随时间改变的力对一个物体的冲量指这个力的作用对时间的积累效果。即力对时间的积分。

质点的动能定理

物体从点A到点B，合外力对物体所作的功为

A=∫ABFcos⁡θds=∫v1v2mvdv=12mv22−12mv12\displaystyle A=\int^{B}_{A}{F\cos{\theta}ds}=\int^{v_2}_{v_1}{mvdv}=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2A=∫ABFcosθds=∫v1v2mvdv=21mv22−21mv12

A=Ek2−Ek1A = E_{k2} - E_{k1}A=Ek2−Ek1

合外力对物体所做的功等于物体动能的增量，这一结论称为质点的动能定理。

质点系的动能定理

由互相作用的若干个物体组成的系统，一般简称为质点系。系统内各物体间的相互作用力称为内力，系统之外的其他物体对系统内任意一物体的作用称为外力。

设作用在第iii个物体上的力对它做的功为AiA_iAi，由质点的动能定理可得

Ai=12mivi22−12mivi12\displaystyle A_i = \frac{1}{2}m_{i}v_{i2}^2 - \frac{1}{2}m_{i}v_{i1}^2Ai=21mivi22−21mivi12

对系统内各个物体都应用动能定理，并相加得到

∑i=1nAi=∑i=1nEki2−Eki1=∑i=1n12mivi22−∑i=1n12mivi12\sum_{i=1}^{n}{A_i} = \sum_{i=1}^{n}{E_{ki2} - E_{ki1}} = \sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{2}m_{i}v_{i2}^2} - \sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{2}m_{i}v_{i1}^2}∑i=1nAi=∑i=1nEki2−Eki1=∑i=1n21mivi22−∑i=1n21mivi12

这些力中既有该系统的内力，也有该系统的外力。

A内+A外=∑i=1nEki2−Eki1A_内+A_外 = \sum_{i=1}^{n}{E_{ki2} - E_{ki1}}A内+A外=∑i=1nEki2−Eki1

所有外力和内力对质点系所做功的总和等于系统动能的增量，这一结论称为质点系的动能定理

{A外+A保内+A非保内=∑i=1nEki2−∑i=1nEki1A保内=∑i=1nEpi2−∑i=1nEpi1A外+A非保内=(∑i=1nEki2+∑i=1nEpi2)−(∑i=1nEki1+∑i=1nEpi1)A外+A非保内=E2−E1\begin{cases} A_外 + A_{保内} + A_{非保内} = \sum^n_{i=1}{E_{ki2} - \sum^n_{i=1}E_{ki1}}\\ A_{保内} = \sum^n_{i=1}{E_{pi2} - \sum^n_{i=1}E_{pi1}}\\ A_外 + A_{非保内} =(\sum^n_{i=1}{E_{ki2} + \sum^n_{i=1}{E_{pi2}) - (\sum^n_{i=1}E_{ki1}} + \sum^n_{i=1}E_{pi1}})\\ A_外 + A_{非保内} = E_2 - E_1 \end{cases}⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧A外+A保内+A非保内=∑i=1nEki2−∑i=1nEki1A保内=∑i=1nEpi2−∑i=1nEpi1A外+A非保内=(∑i=1nEki2+∑i=1nEpi2)−(∑i=1nEki1+∑i=1nEpi1)A外+A非保内=E2−E1

外力和非保守内力所作功的总和等于系统机械能的增量，这一结论称为质点系的动能定理。

机械能守恒定律

{A外+A非保内=0E1=E2∑i=1nEpi1+∑i=1nEki1=∑i=1nEpi2+∑i=1nEki2\displaystyle \begin{cases} A_外 + A_{非保内} = 0\\ E_1 = E_2\\ \sum^n_{i=1}{E_{pi1} + \sum^n_{i=1}{E_{ki1} = \sum^n_{i=1}E_{pi2}} + \sum^n_{i=1}E_{ki2}} \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧A外+A非保内=0E1=E2∑i=1nEpi1+∑i=1nEki1=∑i=1nEpi2+∑i=1nEki2

当作用在系统上的外力和非保守内力不做功时，或者它们所作的总功为零时，系统内物体的动能和势能可以互相转换，但它们的总和，即系统的机械能保持不变，这一结论称为机械能守恒定律。

能量守恒定律

对一个孤立系统(和外界即没有物质交换，也没有能量交换的系统)来说，不论发生任何变化，各种形式的能量都可以互相转化，但它们的总和是一个常量，这一结论称为能量守恒与转化定律，简称能量守恒定律。

刚体力学

力矩

公式: M⃗=r⃗×F⃗⊥\vec{M}=\vec{r} \times \vec{F}_\botM=r×F⊥

力矩在物理学里是指作用力使物体绕着转动轴或支点转动的趋向。力矩的单位是牛顿-米。力矩能够使物体改变其旋转运动。力矩等于径向矢量与作用力的叉积。

转动惯量

公式: J=∑i=1nΔmir2=∫vr2dm\displaystyle J=\sum_{i=1}^{n}{\Delta{m_i}r^2}=\int_v{r^2dm}J=i=1∑nΔmir2=∫vr2dm

转动惯量，是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度，用字母I或J表示。在经典力学中，转动惯量（又称质量惯性矩，简称惯矩）通常以I 或J表示，SI 单位为 kg⋅m2kg \cdot m^2kg⋅m2。对于一个质点，I=mr2I=mr^2I=mr2，其中m是其质量，r是质点和转轴的垂直距离。

PS: 转动惯量在旋转动力学中的角色相当于线性动力学中的质量，可形式地理解为一个物体对于旋转运动的惯性，用于建立角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。