现代通信原理14.2：M进制数字调制信号波形的向量表示

文章目录

1. 用向量表示MMM进制信号
2. OOK信号波形的向量表示
3. 2PSK信号波形的向量表示
4. 正交2FSK信号波形的向量表示

1. 用向量表示MMM进制信号

对于M进制数字调制信号而言，如果我们有了完备的标准正交波形集{fn(t),n=1,2,…,N}\{f_n(t),\ n=1,2,\ldots, N\}{fn(t), n=1,2,…,N}，就可以把信号sm(t),m=1,2,…,Ms_m(t),m=1,2,\ldots,Msm(t),m=1,2,…,M，表示成{fn(t)}\{f_n(t)\}{fn(t)}的线性组合，即
sm(t)=∑n=1Nsmnfn(t),m=1,2,…,M(1.1)\tag{1.1} s_m(t)=\sum_{n=1}^{N}s_{mn}f_n(t),\quad m=1,2,\ldots,M sm(t)=n=1∑Nsmnfn(t),m=1,2,…,M(1.1)由此，我们可以把信号sm(t)s_m(t)sm(t)表示成向量
sm=[sm1,sm2,…,smN],(1.2)\tag{1.2} {\rm s}_m=[s_{m1},s_{m2},\ldots,s_{mN}], sm=[sm1,sm2,…,smN],(1.2)其中，
smn=∫−∞∞sm(t)fn(t),m=1,2,…,M;n=1,2,…,N.(1.3)\tag{1.3} s_{mn}=\int_{-\infty}^{\infty}s_m(t)f_n(t),\quad m=1,2,\ldots,M;n=1,2,\ldots,N. smn=∫−∞∞sm(t)fn(t),m=1,2,…,M;n=1,2,…,N.(1.3)也就是说，sm(t)s_m(t)sm(t)为正交函数集{fn(t),n=1,2,…,N}\{f_n(t),\ n=1,2,\ldots, N\}{fn(t), n=1,2,…,N}所张成的向量空间中的一个点。进一步，可以得到信号sm(t)s_m(t)sm(t)的能量为Em=∫−∞∞sm2(t)dt=∑n=1Nsmn2=∥sm∥2.E_m=\int_{-\infty}^{\infty}s_m^2(t)dt=\sum_{n=1}^{N}s_{mn}^2=\|{\bf s}_m\|^2. Em=∫−∞∞sm2(t)dt=n=1∑Nsmn2=∥sm∥2.若有能量信号sm(t)s_m(t)sm(t)和sk(t)s_k(t)sk(t)，其内积为
⟨sm(t),sk(t)⟩=∫−∞∞sm(t)sk(t)dt=∑n=1N∑i=1Nsmnski∫−∞∞fn(t)fi(t)dt=∑n=1Nsmnskn=sm⋅sk,(1.4)\tag{1.4} \begin{aligned} \langle s_m(t),s_k(t)\rangle&=\int_{-\infty}^{\infty}s_m(t)s_k(t)dt\\&=\sum_{n=1}^{N}\sum_{i=1}^{N}s_{mn}s_{ki}\int_{-\infty}^{\infty}f_{n}(t)f_{i}(t)dt\\ &=\sum_{n=1}^{N}s_{mn}s_{kn}={\bf s}_m\cdot{\bf s}_k, \end{aligned} ⟨sm(t),sk(t)⟩=∫−∞∞sm(t)sk(t)dt=n=1∑Ni=1∑Nsmnski∫−∞∞fn(t)fi(t)dt=n=1∑Nsmnskn=sm⋅sk,(1.4)相关系数为
ρmk=1EmEk∫−∞∞sm(t)sk(t)dt=sm⋅sk∥sm∥∥sk∥,(1.5)\tag{1.5} \begin{aligned} \rho_{mk}=\frac{1}{\sqrt{E_m}\sqrt{E_k}}\int_{-\infty}^{\infty}s_{m}(t)s_{k}(t)dt=\frac{{\bf s}_m\cdot{\bf s}_k}{\|{\bf s}_m\|\|{\bf s}_k\|}, \end{aligned} ρmk=EmEk1∫−∞∞sm(t)sk(t)dt=∥sm∥∥sk∥sm⋅sk,(1.5)二者之间（欧式）距离为
dmk=∫−∞∞[sm(t)−sk(t)]2dt=Em+Ek−2EmEkρmk.(1.6)\tag{1.6} \begin{aligned} d_{mk}=\sqrt{\int_{-\infty}^{\infty}[s_m(t)-s_k(t)]^2dt}=\sqrt{E_m+E_k-2\sqrt{E_mE_k}\rho_{mk}}. \end{aligned} dmk=∫−∞∞[sm(t)−sk(t)]2dt=Em+Ek−2EmEkρmk.(1.6)若Em=Ek=EsE_m=E_k=E_sEm=Ek=Es，则有
dmk=2Es(1−ρmk).(1.7)\tag{1.7} \begin{aligned} d_{mk}=\sqrt{2E_s(1-\rho_{mk})}. \end{aligned} dmk=2Es(1−ρmk).(1.7)若用向量表示，则信号sm(t)s_m(t)sm(t)和sk(t)s_k(t)sk(t)之间欧氏距离为
dmn=∥sm−sk∥.(1.8)\tag{1.8} d_{mn}=\|{\bf s}_m-{\bf s}_k\|. dmn=∥sm−sk∥.(1.8)

【小结】

MMM个能量有限信号可以映射为NNN维信号空间中的MMM个点；

在NNN维信号空间中的MMM个点集合称为信号星座，其图形称信号星座图（或信号空间图）；

信号空间图中从坐标原点到信号空间中某一向量长度的平方等于相应信号的能量；

在信号空间中，两向量端点之间的距离称为两个信号波形之间的欧式距离，其平方等于两信号波形之差的能量。

2. OOK信号波形的向量表示

OOK发送信号波形
OOK调制时，发送信号为
s(t)={s1(t)=2Es1Tbcos⁡2πfct"1"s2(t)=0"0"(2.1)\tag{2.1} s(t)=\left\{ \begin{aligned}&s_1(t)=\sqrt{\frac{2E_{s1}}{T_b}}\cos2\pi f_ct\quad &"1"\\ &s_2(t)=0\quad &"0" \end{aligned} \right. s(t)=⎩⎪⎨⎪⎧s1(t)=Tb2Es1cos2πfcts2(t)=0"1""0"(2.1)其中，Es1E_{s1}Es1为信号s1(t)s_1(t)s1(t)的能量。注意由于Es2=0E_{s2}=0Es2=0，因此当“0”、“1”等概率时，信号的平均能量Es=12[Es1+Es2]=Es12E_s=\frac{1}{2}[E_{s1}+E_{s2}]=\frac{E_{s1}}{2}Es=21[Es1+Es2]=2Es1，故Es1=2EsE_{s1}=2E_sEs1=2Es
正交函数集构造
下面我们来构造正交函数集{fn(t),n=1,2,…,N}\{f_n(t),\ n=1,2,\ldots, N\}{fn(t), n=1,2,…,N}。

【Gram-Schmidt方法构造正交函数集】
下面我们讨论如何用Gram-Schmidt方法，从能量有限的信号集{sm(t),m=1,2,…,M}\{s_m(t),m=1,2,\ldots,M\}{sm(t),m=1,2,…,M}构造正交函数集{fn(t),n=1,2,…,N}\{f_n(t),\ n=1,2,\ldots, N\}{fn(t), n=1,2,…,N}。首先，有
f1(t)=s1(t)E1,f_1(t)=\frac{s_1(t)}{\sqrt{E_1}}, f1(t)=E1s1(t),这里E1E_1E1为信号s1(t)s_1(t)s1(t)的能量。随后，我们把s2(t)s_2(t)s2(t)投影到f1(t)f_1(t)f1(t)上去，得到
c12=∫−∞∞s2(t)f1(t)dt,c_{12}=\int_{-\infty}^{\infty}s_2(t)f_1(t)dt, c12=∫−∞∞s2(t)f1(t)dt,再从s2(t)s_2(t)s2(t)中将c12f1(t)c_{12}f_1(t)c12f1(t)减去，可以得到
f2′(t)=s2(t)−c12f1(t)，f_2'(t)=s_2(t)-c_{12}f_1(t)， f2′(t)=s2(t)−c12f1(t)，对其归一化后有
f2(t)=f2′(t)E2,f_2(t)=\frac{f_2'(t)}{\sqrt{E_2}}, f2(t)=E2f2′(t),其中E2E_2E2为f2′(t)的能量f_2'(t)的能量f2′(t)的能量。一般情况下，有
fn(t)=fn′(t)En,f_n(t)=\frac{f_n'(t)}{\sqrt{E_n}}, fn(t)=Enfn′(t),这里EnE_nEn为信号
fn′(t)=sn(t)−∑i=1n−1cinfi(t)f_n'(t)=s_n(t)-\sum_{i=1}^{n-1}c_{in}f_i(t) fn′(t)=sn(t)−i=1∑n−1cinfi(t)的能量，而
cin=∫−∞∞sn(t)fi(t)dt.c_{in}=\int_{-\infty}^{\infty}s_n(t)f_i(t)dt. cin=∫−∞∞sn(t)fi(t)dt.

由于s1(t)=2Es1Tbcos⁡2πfcts_1(t)=\sqrt{\frac{2E_{s1}}{T_b}}\cos2\pi f_cts1(t)=Tb2Es1cos2πfct，我们得到
f1(t)=s1(t)Es1=2Tbcos⁡2πfct,f_1(t)=\frac{s_1(t)}{\sqrt{E_{s1}}}=\sqrt{\frac{2}{T_b}}\cos2\pi f_ct, f1(t)=Es1s1(t)=Tb2cos2πfct,由s2(t)=0s_2(t)=0s2(t)=0，得到c12=0c_{12}=0c12=0，因此f2(t)=0f_2(t)=0f2(t)=0。故可以得到一维正交函数集
{f1(t)=2Tbcos⁡2πfct},0≤t≤Tb.(2.2)\tag{2.2} {\Large \{}f_1(t)=\sqrt{\frac{2}{T_b}}\cos2\pi f_ct{\Large \}},\ 0\le t\le T_b.{f1(t)=Tb2cos2πfct}, 0≤t≤Tb.(2.2)

OOK信号的向量形式
下面我们把si(t),i=1,2s_i(t),i=1,2si(t),i=1,2表示为向量形式，有
si=[si1],i=1,2{\bf s}_i=[s_{i1}],\ i=1,2 si=[si1], i=1,2这里si1=∫−∞∞si(t)f1(t)dts_{i1}=\int_{-\infty}^{\infty}s_i(t)f_1(t)dtsi1=∫−∞∞si(t)f1(t)dt为波形si(t)s_i(t)si(t)映射到f1(t)f_1(t)f1(t)上的投影，因此，可得
s11=∫−∞∞s1(t)f1(t)dt=Es1f1(t)=2Esf1(t)s21=0(2.3)\tag{2.3} \begin{aligned} s_{11}&=\int_{-\infty}^{\infty}s_1(t)f_1(t)dt=\sqrt{E_{s1}}f_1(t)=\sqrt{2E_{s}}f_1(t)\\ s_{21}&=0 \end{aligned} s11s21=∫−∞∞s1(t)f1(t)dt=Es1f1(t)=2Esf1(t)=0(2.3)所以我们可以将信号s1(t)s_1(t)s1(t)和s2(t)s_2(t)s2(t)分别映射为一维向量s1{\bf s}_1s1以及s2{\bf s}_2s2，即
s1(t)=2Es1Tbcos⁡2πfct→s1=[2Es]s2(t)=0→s2=[0](2.4)\tag{2.4} \begin{aligned} s_1(t)=\sqrt{\frac{2E_{s1}}{T_b}}\cos2\pi f_ct\ &\rightarrow \ {\bf s}_{1}=[\sqrt{2E_{s}}]\\ s_{2}(t)=0&\rightarrow \ {\bf s}_2=[0] \end{aligned} s1(t)=Tb2Es1cos2πfct s2(t)=0→ s1=[2Es]→ s2=[0](2.4)
OOK信号星座图
由于N=1N=1N=1，因此信号空间为一维空间，可以画出两个信号对应的向量点，即星座图，如图1所示。显然，对于OOK信号，其两个信号s1(t)s_1(t)s1(t)与s2(t)s_2(t)s2(t)之间的互相关系数以及距离分别为
ρ12=0(2.5)\tag{2.5} \rho_{12}=0 ρ12=0(2.5)以及d12=Es1+Es2−2Es1Es2ρ12=Es1=2Es.(2.6)\tag{2.6} \begin{aligned} d_{12}&=\sqrt{E_{s1}+E_{s_2}-2\sqrt{E_{s1}E_{s2}}\rho_{12}}\\ &=\sqrt{E_{s1}}=\sqrt{2E_s}. \end{aligned} d12=Es1+Es2−2Es1Es2ρ12=Es1=2Es.(2.6)从图1中，也很容易看出两个信号点之间的距离为d12=2Esd_{12}=\sqrt{2E_s}d12=2Es。
图1 OOK信号的星座图

3. 2PSK信号波形的向量表示

2PSK发送信号波形
2PSK发送信号为
s(t)={s1(t)=2EsTbcos⁡2πfct"1"s2(t)=−2EsTbcos⁡2πfct"0"(3.1)\tag{3.1} s(t)=\left\{ \begin{aligned}&s_1(t)=\sqrt{\frac{2E_{s}}{T_b}}\cos2\pi f_ct\quad &"1"\\ &s_2(t)=-\sqrt{\frac{2E_{s}}{T_b}}\cos2\pi f_ct\quad &"0" \end{aligned} \right. s(t)=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧s1(t)=Tb2Escos2πfcts2(t)=−Tb2Escos2πfct"1""0"(3.1)显然，对于2PSK信号，有平均符号能量Es=Es1=Es2E_s=E_{s1}=E_{s2}Es=Es1=Es2。
完备标准正交函数集
与OOK类似，我们构造一维正交函数集
{f1(t)=2Tbcos⁡2πfct},0≤t≤Tb.(3.2)\tag{3.2} {\Large \{}f_1(t)=\sqrt{\frac{2}{T_b}}\cos2\pi f_ct{\Large \}},\ 0\le t\le T_b.{f1(t)=Tb2cos2πfct}, 0≤t≤Tb.(3.2)
2PSK信号的向量形式
由于
s1(t)=Esf1(t)s2(t)=−Esf1(t)(3.3)\tag{3.3} \begin{aligned} s_1(t)&=\sqrt{E_s}f_1(t)\\ s_2(t)&=-\sqrt{E_s}f_1(t) \end{aligned} s1(t)s2(t)=Esf1(t)=−Esf1(t)(3.3)我们可以将信号s1(t)s_1(t)s1(t)和s2(t)s_2(t)s2(t)分别映射为一维向量s1{\bf s}_1s1以及s2{\bf s}_2s2，即
s1(t)=2Es1Tbcos⁡2πfct→s1=[Es]s2(t)=−2Es1Tbcos⁡2πfct→s2=[−Es](3.4)\tag{3.4} \begin{aligned} s_1(t)&=\sqrt{\frac{2E_{s1}}{T_b}}\cos2\pi f_ct\ &\rightarrow \ {\bf s}_{1}=[\sqrt{E_{s}}]\\ s_2(t)&=-\sqrt{\frac{2E_{s1}}{T_b}}\cos2\pi f_ct\ &\rightarrow \ {\bf s}_{2}=[-\sqrt{E_{s}}] \end{aligned} s1(t)s2(t)=Tb2Es1cos2πfct =−Tb2Es1cos2πfct → s1=[Es]→ s2=[−Es](3.4)
`- 2PSK信号的星座图
2PSK信号的星座图，如图2所示。显然，对于2PSK信号，其两个信号s1(t)s_1(t)s1(t)与s2(t)s_2(t)s2(t)之间的互相关系数以及距离分别为
ρ12=−1(3.5)\tag{3.5} \rho_{12}=-1 ρ12=−1(3.5)以及d12=2Es（1−ρ12)=2Es.(3.6)\tag{3.6} \begin{aligned} d_{12}&=\sqrt{2E_{s}（1-\rho_{12})}=2\sqrt{E_s}. \end{aligned} d12=2Es（1−ρ12)=2Es.(3.6)

图2 2PSK信号星座图

4. 正交2FSK信号波形的向量表示

正交2FSK信号波形
设2FSK信号为
si(t)=2EsTscos⁡2πfit,(4.1)\tag{4.1} s_i(t)=\sqrt{\frac{2E_{s}}{T_s}}\cos2\pi f_i t, si(t)=Ts2Escos2πfit,(4.1)这里，f1=fc+Δf2f_1=f_c+\frac{\Delta f}{2}f1=fc+2Δf，f2=fc−Δf2f_2=f_c-\frac{\Delta f}{2}f2=fc−2Δf。显然，对于2FSK信号，有平均符号能量Es=Es1=Es2E_s=E_{s1}=E_{s2}Es=Es1=Es2。
为了定义正交2FSK信号，我们来看s1(t)s_1(t)s1(t)和s2(t)s_2(t)s2(t)的相关系数
ρ12=1Es∫0Tss1(t)s2(t)dt=2Ts∫0Tscos⁡(2πf1t)cos⁡(2πf2t)dt=1Ts∫0Ts[cos⁡2π(f1+f2)t+cos⁡2π(f1−f2)t]dt=1Ts∫0Ts[cos⁡2πfct+cos⁡2πΔft]dt≈1Ts∫0Tscos⁡2πΔftdt=Sa(2π⋅Δf⋅Ts)(4.2)\tag{4.2} \begin{aligned} \rho_{12}&=\frac{1}{E_s}\int_{0}^{T_s}s_1(t)s_2(t)dt\\ &=\frac{2}{T_s}\int_{0}^{T_s}\cos (2\pi f_1t)\cos (2\pi f_2t)dt\\ &=\frac{1}{T_s}\int_{0}^{T_s}[\cos 2\pi (f_1+f_2)t +\cos 2\pi (f_1-f_2)t]dt\\ &=\frac{1}{T_s}\int_{0}^{T_s}[\cos 2\pi f_ct +\cos 2\pi \Delta ft ]dt\\ &\approx \frac{1}{T_s}\int_{0}^{T_s}\cos 2\pi \Delta ft \ dt\\ &={\rm Sa}(2\pi \cdot \Delta f\cdot T_s) \end{aligned} ρ12=Es1∫0Tss1(t)s2(t)dt=Ts2∫0Tscos(2πf1t)cos(2πf2t)dt=Ts1∫0Ts[cos2π(f1+f2)t+cos2π(f1−f2)t]dt=Ts1∫0Ts[cos2πfct+cos2πΔft]dt≈Ts1∫0Tscos2πΔft dt=Sa(2π⋅Δf⋅Ts)(4.2)为了保证s1(t)s_1(t)s1(t)和s2(t)s_2(t)s2(t)正交，有ρ12=0\rho_{12}=0ρ12=0，因此Δf=k⋅12Ts\Delta f=k\cdot \frac{1}{2T_s}Δf=k⋅2Ts1，这里kkk为任意不为零整数。
完备标准正交函数集
对于正交2FSK信号，我们构造二维正交函数集
f1(t)=2Tbcos⁡2πf1t,0≤t≤Ts.f2(t)=2Tbcos⁡2πf2t,0≤t≤Ts.(4.3)\tag{4.3} f_1(t)=\sqrt{\frac{2}{T_b}}\cos2\pi f_1t,\quad 0\le t\le T_s.\\ f_2(t)=\sqrt{\frac{2}{T_b}}\cos2\pi f_2t,\quad 0\le t\le T_s. f1(t)=Tb2cos2πf1t,0≤t≤Ts.f2(t)=Tb2cos2πf2t,0≤t≤Ts.(4.3)
正交2FSK信号的向量形式
由于
s1(t)=Esf1(t)s2(t)=Esf2(t)(4.4)\tag{4.4} \begin{aligned} s_1(t)&=\sqrt{E_s}f_1(t)\\ s_2(t)&=\sqrt{E_s}f_2(t) \end{aligned} s1(t)s2(t)=Esf1(t)=Esf2(t)(4.4)我们可以将信号s1(t)s_1(t)s1(t)和s2(t)s_2(t)s2(t)分别映射为一维向量s1{\bf s}_1s1以及s2{\bf s}_2s2，即
s1(t)=2Es1Tbcos⁡2πfct→s1=[Es,0]s2(t)=−2Es1Tbcos⁡2πfct→s2=[0,Es](3.4)\tag{3.4} \begin{aligned} s_1(t)&=\sqrt{\frac{2E_{s1}}{T_b}}\cos2\pi f_ct\ &\rightarrow \ {\bf s}_{1}=[\sqrt{E_{s}},0]\\ s_2(t)&=-\sqrt{\frac{2E_{s1}}{T_b}}\cos2\pi f_ct\ &\rightarrow \ {\bf s}_{2}=[0,\sqrt{E_{s}}] \end{aligned} s1(t)s2(t)=Tb2Es1cos2πfct =−Tb2Es1cos2πfct → s1=[Es,0]→ s2=[0,Es](3.4)
`- 正交2FSK信号的星座图
正交2FSK信号的星座图如图3所示。显然，s1(t)s_1(t)s1(t)与s2(t)s_2(t)s2(t)之间的互相关系数ρ12=0\rho_{12}=0ρ12=0，距离d12=2Es（1−ρ12)=2Es.d_{12}=\sqrt{2E_{s}（1-\rho_{12})}=\sqrt{2E_s}.d12=2Es（1−ρ12)=2Es.

图3 正交2PSK信号星座图

比较2ASK、2PSK以及正交2FSK这三种信号，我们会发现，在信号平均能量EsE_sEs相等的情况下，2ASK和2FSK这两种调制方式中，两个信号点之间的欧式距离相等，均为2Es\sqrt{2E_s}2Es；而对于2PSK调制，两个信号点之间欧式距离为2Es2\sqrt{E_s}2Es，事实上，这也是为什么采用相干解调时，2PSK的误码性能最好的原因。