MCS：随机数的生成

Random Number Generators (随机数生成器）

模运算(Modular Arithmetic)
线性同余生成器(Linear Congruent Generators)
生成均匀变量(Generating Uniform Variates)

模运算(Modular Arithmetic)

w,mw,mw,m,均为整数，模运算表示为：w%mw \% mw%m。

例：m=5,w=1m = 5, w = 1m=5,w=1, w%m=1%5=1w \% m = 1 \% 5 = 1w%m=1%5=1

同余(congruent modulo)

例：w=1,6,11,16,m=5w = 1, 6, 11, 16, m = 5w=1,6,11,16,m=5, 1, 6, 11, 16 对模m=5m=5m=5同余：

1%5=06%5=111%5=116%5=1\begin{aligned}1 \% 5 &= 0 \\ 6 \% 5 &= 1 \\ 11 \% 5 &= 1 \\ 16 \% 5 &= 1 \end{aligned}1%56%511%516%5=0=1=1=1

线性同余生成器(LCG : Linear Congruent Generators)

LCG有三个参数a,b,ma, b, ma,b,m,重复进行模运算，用前一个wi−1w_{i-1}wi−1,计算得到wiw_iwi:
wi=(a×wi−1+b)%mw_i = (a \times w_{i-1} + b) \% mwi=(a×wi−1+b)%m

例: a=5,b=3a = 5, b = 3a=5,b=3, w0=11w_0 = 11w0=11, wi=(5×11+3)%mw_i = (5 \times 11 + 3) \% mwi=(5×11+3)%m:

m=13m = 13m=13
m=23m = 23m=23
m=32m = 32m=32
w0=33,m=32w_0 = 33, m= 32w0=33,m=32

下面是4种不同的参数组合的测试结果：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def LCG(seed, m=32):w = (5 * seed + 3) % mreturn w

当m=13m=13m=13时序列重复的周期最短，m=23m=23m=23时序列周期T=22T=22T=22，m=32m=32m=32时，T=32T=32T=32。只有特定的参数组合生成的序列周期T=mT = mT=m,在参数不变的情况下，改变seed会生成新的随机序列，但是周期不变。

生成均匀变量(Generating Uniform Variates)

标准的连续均匀随机变量用uuu表示，uuu可以从LCG生成的序列转换得到，即：
ui=wim，u∈[0m,m−1m],w∈[0,m−1]u_i = \frac{w_i}{m}，u \in [\frac{0}{m}, \frac{m-1}{m}], w \in [0, m-1]ui=mwi，u∈[m0,mm−1],w∈[0,m−1]

(0,1)(0,1)(0,1)之间均匀随机变量：

32位字长(32-Bit Word Length)

32位可以表示的整数范围是[−(231−1),231][-(2^{31}-1), 2^{31}][−(231−1),231],1位确定符号，31位确定数值。

生成32位整数范围内的均匀随机变量，且使T=m=231−1T = m = 2^{31}-1T=m=231−1:

a=16807,b=0a = 16807, b = 0a=16807,b=0
a=630360016,b=0a = 630360016, b= 0a=630360016,b=0

评估随机数生成器(Evaluate Random Number Generator)

由一下几个方面测试均匀变量的好坏：

随机序列的周期即不重复的长度(Length of the Cycle)
均值和方差(Mean and Variance)
卡方(Chi Square)
自相关(Autocorrelation)

序列的周期

随机序列的周期应T≈mT \approx mT≈m或$T = m,即：序列周期的长度等于模或尽可能等于模的值。

均值和方差

均匀随机变量序列U=u1,u2,u3,...un,U∈[0,1)U = {u_1, u_2, u_3,...u_n}, U \in [0, 1)U=u1,u2,u3,...un,U∈[0,1)，随机变量的均值和方差为:E(u)、V(u)E(u)、V(u)E(u)、V(u)。E(u)=0.5,V(u)=0.0833E(u) = 0.5, V(u) = 0.0833E(u)=0.5,V(u)=0.0833,序列的均值和方差差距反映了序列的好坏。

卡方

序列U=u1,u2,u3,...un,U∈[0,1]U = {u_1, u_2, u_3,...u_n}, U \in [0, 1]U=u1,u2,u3,...un,U∈[0,1],在UUU上划分kkk个等间隔的区间。k=10k = 10k=10，区间为：(0,0.1),(0.1,0.2),...(0.9,1.0)(0,0.1),(0.1,0.2),...(0.9,1.0)(0,0.1),(0.1,0.2),...(0.9,1.0)。用fif_ifi表示序列UUU中落入第iii个区间的值的数量,nnn为序列中全部元素的数量。理想的情况下落入每个区间的数量，ei=1kne_i = \frac{1}{k}nei=k1n。卡方检验用来检验随机序列是否均匀分布。

自相关

计算序列与自身不同滞后的相关性，理想情况下应该接近于0。当滞后为kkk:
rk=∑i(ui−0.5)(ui−k−0.5)∑i(ui−0.5)2r_k = \frac{\sum_i(u_i - 0.5)(u_{i-k} - 0.5)}{\sum_i(u_i - 0.5)^2}rk=∑i(ui−0.5)2∑i(ui−0.5)(ui−k−0.5)

伪随机

LCG生成的序列并不是真正的随机数，在最理想的情况下，序列重复出现的周期等于模，所以序列的顺序是可预测的。