文章目录

数列极限的概念
- 数列基础
- - 数列的概念
  - 特殊数列
  - - 等差数列（算术数列）
    - 等比数列（几何数列）
    - 有界数列
    - 单调数列
  - 子列
- 数列极限
- - 数列极限的定义
  - 数列极限的几何意义
  - - 方式一
    - 方式二
  - 数列的敛散性分析
- 参考文献

数列极限的概念

这一节，开始学习数列极限理论。首先，回顾一下与数列有关的概念。

数列基础

数列的概念

\quad中学阶段，已经接触过数列的基础内容。常见的数列有：

三角形数；
正方形数；
斐波那契数；
……

\quad直观地讲，数列就是一列数，并且是按照正整数排列的一列数。基于对数列的直观认识，于是有 定义1。

定义 1. 数列：按照一定次序排列的一列数称为数列（sequence of number）。数列中的每一个数称为该数列的项，数列中的每个项都与所对应的符号有关。数列的一般形式为
x1,x2,⋯,xn,⋯x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdots x1,x2,⋯,xn,⋯
可以简单地将其记作：{xn}\{x_n\}{xn}。x1x_1x1 称为首项，xnx_nxn 称为通项。

附注：

按照数列的项数是否有限，可将数列分为有穷数列与无穷数列。当然，有穷数列一般没有什么研究价值，我们重点研究无穷数列。
数列中的每一项都是一个数，可以是实数，也可以是复数。

以上是中学阶段所接触到的关于数列的基础内容，但在数学分析或微积分中，我们需要更深层次地剖析数列。

在微积分中，我们的所有讨论基本上都是基于实数集的。因此，在数列部分，我们只讨论实数列。

以斐波那契数列为例，
1,1,2,3,5,8,⋯1,1,2,3,5,8,\cdots 1,1,2,3,5,8,⋯
其中，数列中的每一项的值都是一个实数，而且每一项又都与其对应的”编号“有关，这样，”编号“与”数值“就建立了一个映射，或者说函数。从这样一个观点考虑，对于数列，有 定义 2。

定义 2. 数列’：定义域为正整数集 N+\mathbb{N}^{+}N+ 的函数
f:N+→R或xn=f(n),n=1,2,3,⋯f:\mathbb{N}^{+} \rightarrow \mathbb{R} \quad \text{或} \quad x_n=f(n),n=1,2,3,\cdots f:N+→R或xn=f(n),n=1,2,3,⋯
称为实数序列，简称实数列或数列。

附注：

从 定义 1 中的 “一列数” 到 定义 2 中的 “函数”，如何理解这两种不同的定义？

答：按照 定义 2，数列可看作函数，也就是变量，由于其自变量都是正整数，数列也被称为 整序变量。

虽然从直观上，实数序列与整序变量是两个不同的概念，但在本质上，两者是等价的。

实际上，确定实数序列 x1,x2,⋯,xn,⋯x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdotsx1,x2,⋯,xn,⋯ 的数值，与给定依次具有值 x1,x2,⋯,xn,⋯x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdotsx1,x2,⋯,xn,⋯ 的变量 xxx ，两者所做的是相同的事情：指出某个规则，使每个自然数 nnn，对应者完全确定的实数 xnx_nxn。

具体解释可参阅 菲赫金哥尔茨. 微积分学教程. 第一卷。

完

数集与数列有什么异同？

答：首先，数集中的元素是互异的，而数列中的项是可以相同的。例如

{1,2,3,3,4},{1,2,3,4}\{1,2,3,3,4\},\{1,2,3,4\} {1,2,3,3,4},{1,2,3,4}

两个数集是相同的。而

xn:1,2,2,2,2,3,4,5,⋯yn:1,2,3,4,5⋯x_n:1,2,2,2,2,3,4,5,\cdots \quad y_n:1,2,3,4,5\cdots xn:1,2,2,2,2,3,4,5,⋯yn:1,2,3,4,5⋯

两个数列是不同的。

其次，数集中的元素是无序的，而序列中的项是有序的。例如：

{1,2,3,4},{4,3,2,1}\{1,2,3,4\},\{4,3,2,1\} {1,2,3,4},{4,3,2,1}

两个数集是相同的。而

xn:4,3,2,1,5,6,7,⋯yn:1,2,3,4,5,6,7,⋯x_n:4,3,2,1,5,6,7,\cdots \quad y_n:1,2,3,4,5,6,7,\cdots xn:4,3,2,1,5,6,7,⋯yn:1,2,3,4,5,6,7,⋯

两个数列是不相同的。

完

下面，介绍几种特殊的数列。

特殊数列

等差数列（算术数列）

定义 3. 等差数列：数列的后一项与前一项的差恒为常数的数列称为等差数列，这个常数称为公差。

设 {xn}\{x_n\}{xn} 是一等差数列，公差为 ddd，则：

x1,x2=x1+d,x3=x2+d=x1+2d,⋯,xn=x1+(n−1)d,⋯x_1,x_2=x_1+d,x_3=x_2+d=x_1+2d,\cdots,x_n=x_1+(n-1)d,\cdots x1,x2=x1+d,x3=x2+d=x1+2d,⋯,xn=x1+(n−1)d,⋯

因此，等差数列 {xn}\{x_n\}{xn} 的通项 xnx_nxn 可表示为：

xn=x1+(n−1)d,n=1,2,3,⋯.x_n=x_1+(n-1)d,\quad n=1,2,3,\cdots. xn=x1+(n−1)d,n=1,2,3,⋯.

设 SnS_nSn 是等差数列 xn{x_n}xn 的前 nnn 项和，则：

Sn=x1+x2+⋯+xn,Sn=xn+x(n−1)+⋯+x1,2⋅Sn=(x1+xn)+(x2+xn−1)+⋯+(xn+x1)=(x1+x1+(n−1)d)+(x1+d+x1+(n−2)d)+⋯+(x1+(n−1)d+x1)=n⋅(2x1+(n−1)d)=n(x1+xn),Sn=n(x1+xn)2=nx1+n(n−1)d2,n=1,2,3,⋯.\begin{aligned} S_n&=x_1+x_2+\cdots+x_n, \\ S_n&=x_n+x_(n-1)+\cdots+x_1, \\ 2\cdot S_n &=(x_1+x_n)+(x_2+x_{n-1})+\cdots+(x_n+x_1) \\ &=(x_1+x_1+(n-1)d)+(x_1+d+x_1+(n-2)d)+\cdots+(x_1+(n-1)d+x_1) \\ &=n\cdot(2x_1+(n-1)d) \\ &=n(x_1+x_n), \\ S_n&=\frac{n(x_1+x_n)}{2} \\ &=nx_1+\frac{n(n-1)d}{2},\quad n=1,2,3,\cdots. \end{aligned} SnSn2⋅SnSn=x1+x2+⋯+xn,=xn+x(n−1)+⋯+x1,=(x1+xn)+(x2+xn−1)+⋯+(xn+x1)=(x1+x1+(n−1)d)+(x1+d+x1+(n−2)d)+⋯+(x1+(n−1)d+x1)=n⋅(2x1+(n−1)d)=n(x1+xn),=2n(x1+xn)=nx1+2n(n−1)d,n=1,2,3,⋯.

等比数列（几何数列）

定义 4. 等比数列：数列的后一项与前一项的比恒为常数的数列称为等比数列，这个常数称为公比。

设 {yn}\{y_n\}{yn} 为一等比数列，公比为 qqq，则：

y1,y2=y1⋅q,y3=y2⋅q=y1⋅q2,⋯,yn=y1⋅qn−1,⋯y_1,y_2=y_1\cdot q,y_3=y_2 \cdot q=y_1 \cdot q^2,\cdots,y_n=y_1 \cdot q^{n-1},\cdots y1,y2=y1⋅q,y3=y2⋅q=y1⋅q2,⋯,yn=y1⋅qn−1,⋯

因此，等比数列 {yn}\{y_n\}{yn} 的通项 yny_nyn 可表示为：

yn=y1⋅qn−1,n=1,2,3,⋯.y_n=y_1\cdot q^{n-1},\quad n=1,2,3,\cdots. yn=y1⋅qn−1,n=1,2,3,⋯.

设 TnT_nTn 是等比数列 yn{y_n}yn 的前 nnn 项和，则：

Tn=y1+y2+⋯+yn=y1+y1⋅q+y1⋅q2+⋯+y1⋅qn−1=y1(1+q+q2+⋯+qn−1),q⋅Tn=y1(q+q2+q3+⋯+qn),Tn−q⋅Tn=y1(1−qn),Tn=y1(1−qn)1−q=y1−yn⋅q1−q,n=1,2,3,⋯.\begin{aligned} T_n&=y_1+y_2+\cdots+y_n \\ &=y_1+y_1\cdot q +y_1\cdot q^2+\cdots+y_1 \cdot q^{n-1} \\ &=y_1(1+q+q^2+\cdots+q^{n-1}), \\ q\cdot T_n &= y_1(q+q^2+q^3+\cdots+q^n), \\ T_n-q\cdot T_n &=y_1(1-q^n), \\ T_n &=\frac{y_1(1-q^n)}{1-q} \\ &=\frac{y_1-y_n\cdot q}{1-q},\quad n=1,2,3,\cdots. \end{aligned} Tnq⋅TnTn−q⋅TnTn=y1+y2+⋯+yn=y1+y1⋅q+y1⋅q2+⋯+y1⋅qn−1=y1(1+q+q2+⋯+qn−1),=y1(q+q2+q3+⋯+qn),=y1(1−qn),=1−qy1(1−qn)=1−qy1−yn⋅q,n=1,2,3,⋯.

有界数列

联系集合有界、函数有界的定义，有数列有界的定义。

定义 5. 数列的上界：设 {xn}\{x_n\}{xn} 为一数列，若存在 M∈RM \in \mathbb{R}M∈R，使得对于一切正整数 nnn，成立

xn≤M,n=1,2,3,⋯x_n \le M,\quad n=1,2,3,\cdots xn≤M,n=1,2,3,⋯

则称 MMM 是数列 {xn}\{x_n\}{xn} 的一个上界，数列 {xn}\{x_n\}{xn} 称为有上界数列。

定义 6. 数列的下界：设 {xn}\{x_n\}{xn} 为一数列，若存在 $ m\in \mathbb{R}$，使得对于一切正整数 nnn，成立

xn≥m,n=1,2,3,⋯x_n \ge m,\quad n=1,2,3,\cdots xn≥m,n=1,2,3,⋯

则称 mmm 是数列 {xn}\{x_n\}{xn} 的一个下界，数列 {xn}\{x_n\}{xn} 称为有下界数列。

定义 7. 有界数列 ：设 {xn}\{x_n\}{xn} 为一数列，若同时存在 m,M∈Rm,M \in \mathbb{R}m,M∈R，使得对于一切正整数 nnn，成立

m≤xn≤M,n=1,2,3,⋯m \le x_n \le M,\quad n=1,2,3,\cdots m≤xn≤M,n=1,2,3,⋯

则称数列 {xn}\{x_n\}{xn} 为有界数列，m,Mm,Mm,M 分别是 {xn}\{x_n\}{xn} 的一个下界和上界。

定义 8. 有界数列’：设 {xn}\{x_n\}{xn} 为一数列，若存在 X∈R,X>0X \in \mathbb{R},X>0X∈R,X>0，使得对一切正整数 nnn，成立

∣xn∣≤X,n=1,2,3,⋯|x_n| \le X,\quad n=1,2,3,\cdots ∣xn∣≤X,n=1,2,3,⋯

则称数列 {xn}\{x_n\}{xn} 为有界数列。

附注：

（1）数列的上、下界并不是唯一的。若 m,M∈Rm,M \in \mathbb{R}m,M∈R 分别是数列 {xn}\{x_n\}{xn} 的一个上、下界，则：

任意小于 mmm 的实数都是 {xn}\{x_n\}{xn} 的下界；
任意大于 MMM 的实数都是 {xn}\{x_n\}{xn} 的上界。

（2）有界数列的 定义 7 与 定义 8 是等价的。

单调数列

定义 9. 单调数列：设 {xn}\{x_n\}{xn} 为一数列，若满足

xn≤xn+1(或xn≥xn+1),n=1,2,3,⋯x_n \le x_{n+1} \quad (\text{或}x_n \ge x_{n+1}),\quad n=1,2,3,\cdots xn≤xn+1(或xn≥xn+1),n=1,2,3,⋯

则称 {xn}\{x_n\}{xn} 为单调增加（减小）数列，或递增（递减）数列，不减（不增）数列。

进一步地，若满足

xn<xn+1(或xn>xn+1),n=1,2,3,⋯x_n <x_{n+1}\quad (\text{或} x_n>x_{n+1}),\quad n=1,2,3,\cdots xn<xn+1(或xn>xn+1),n=1,2,3,⋯

则称 {xn}\{x_n\}{xn} 为严格单调增加（减小）数列，或严格递增（递减）数列。

附注：

（1）若数列 {xn}\{x_n\}{xn} （严格）单调增加，则其必有下界。对于 {xn}\{x_n\}{xn}，显然有：

x1≤x2≤⋯≤xn≤⋯x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n \le \cdots x1≤x2≤⋯≤xn≤⋯

按照数列下界的定义，x1x_1x1 是 {xn}\{x_n\}{xn} 的一个下界。

（2）若数列 {yn}\{y_n\}{yn} （严格）单调减小，则其必有上界。对于 {yn}\{y_n\}{yn}，显然有：

y1≥y2≥⋯≥yn≥⋯y_1 \ge y_2 \ge \cdots \ge y_n \ge \cdots y1≥y2≥⋯≥yn≥⋯

按照数列上界的定义，y1y_1y1 是 {yn}\{y_n\}{yn} 的一个上界。

子列

定义 10. 子列：设 {xn}\{x_n\}{xn} 是一数列，{nk}\{n_k\}{nk} 是一个严格单调增加的正整数数列，即

n1<n2<⋯<nk<nk+1<⋯n_1 < n_2 < \cdots <n_k <n_{k+1}<\cdots n1<n2<⋯<nk<nk+1<⋯
则

xn1,xn2,⋯,xnk,⋯x_{n_1},x_{n_2},\cdots,x_{n_k},\cdots xn1,xn2,⋯,xnk,⋯

也是一个数列，并称为数列 {xn}\{x_n\}{xn} 的一个子列。

附注：{nk}\{n_k\}{nk} 是严格单调增加的正整数数列，显然有

nk≥k,k=1,2,3,⋯.n_k \ge k,\quad k=1,2,3,\cdots. nk≥k,k=1,2,3,⋯.

数列极限

介绍完数列的基础内容，下面正式学习数列极限理论。

数列极限的定义

定义 11. 数列极限：设 {xn}\{x_n\}{xn} 为一数列，若存在某个数 a∈Ra\in \mathbb{R}a∈R，对于任意给定的 ϵ>0\epsilon>0ϵ>0，存在正整数 NNN，使得当 n>Nn>Nn>N 时，成立

∣xn−a∣<ϵ|x_n-a|<\epsilon ∣xn−a∣<ϵ

则称 {xn}\{x_n\}{xn} 收敛于 aaa，aaa 称为 {xn}\{x_n\}{xn} 的极限。记作：

lim⁡n→∞xn=a,或xn→a(n→∞).\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}x_n=a,\quad \text{或} \quad x_n \rightarrow a(n \rightarrow\infty). n→∞limxn=a,或xn→a(n→∞).

读作：“nnn 趋于 ∞\infty∞ 时，xnx_nxn 趋于实数 aaa”。

使用 "ϵ−N\epsilon-Nϵ−N " 语言描述：

lim⁡n→∞xn=a⇔∀ϵ>0,∃N∈N+,∀n>N:∣xn−a∣<ϵ.\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}x_n=a \Leftrightarrow \forall ~ \epsilon>0,\exists ~ N \in \mathbb{N}^{+},\forall ~ n > N:|x_n-a|<\epsilon. n→∞limxn=a⇔∀ ϵ>0,∃ N∈N+,∀ n>N:∣xn−a∣<ϵ.

定义 12. 数列的敛散性：设 {xn}\{x_n\}{xn} 为一数列，若存在某个数 a∈Ra \in \mathbb{R}a∈R，使得 {xn}\{x_n\}{xn} 收敛于 aaa，则称数列 {xn}\{x_n\}{xn} 收敛。否则，称数列 {xn}\{x_n\}{xn} 发散。

附注：

（1）"lim⁡n→∞xn=a\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}x_n=an→∞limxn=a"意为“nnn 趋于无穷时，xnx_nxn 的值趋于 aaa”，并不代表 “xn=ax_n=axn=a”，当然不排除有 xn=ax_n=axn=a 的可能。

（2）lim⁡n→∞xn=a⇔∀ϵ>0,∃N∈N+,∀n>N:∣xn−a∣<ϵ\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}x_n=a \Leftrightarrow \forall ~ \epsilon>0,\exists ~ N \in \mathbb{N}^{+},\forall ~ n > N:|x_n-a|<\epsilonn→∞limxn=a⇔∀ ϵ>0,∃ N∈N+,∀ n>N:∣xn−a∣<ϵ，对含有绝对值的不等式展开，即有：

a−ϵ<xn<a+ϵ.a-\epsilon<x_n<a+\epsilon. a−ϵ<xn<a+ϵ.

（3）极限定义中的 ϵ>0\epsilon>0ϵ>0 必须是任意给定的，不能用一个很小的正数代替。另外，这里的“任意给定”应理解为“任意小”而不是“任意大”，因此将定义中的 ∀ϵ>0\forall ~ \epsilon>0∀ ϵ>0 更改为 ∀ϵ∈(0,1)\forall ~ \epsilon \in (0,1)∀ ϵ∈(0,1)、∀ϵ∈(0,12)\forall ~ \epsilon \in (0,\frac{1}{2})∀ ϵ∈(0,21) 等等，都是允许的（这在习题训练中经常碰到）。

（4）NNN 与 ϵ\epsilonϵ 的关系：在 ϵ\epsilonϵ 给定之后，满足要求的 NNN 通常与 ϵ\epsilonϵ 有关。NNN 的择取对 ϵ\epsilonϵ 的值有一定的依赖关系，但不是函数关系。通常：

ϵ\epsilonϵ 取的值越小，满足要求的 NNN 就越大；
ϵ\epsilonϵ 取得值越大，满足要求的 NNN 就越小。当 ϵ\epsilonϵ 取的足够大时，NNN 可取任意正整数，这样的 ϵ\epsilonϵ 在数列极限中没有任何作用。
由数列极限的 定义 11,可知数列的敛散性与数列的前有限多项无关，随意更改前有限多项的数值，并不会影响数列本身的敛散性。

数列极限的几何意义

下面分析一下数列极限的几何意义。

方式一

设数列 {xn}\{x_n\}{xn} 收敛于实数 aaa。对于任意给定的 ϵ>0\epsilon>0ϵ>0，可将 {xn}\{x_n\}{xn} 中的所有项的数值、aaa 以及 a±ϵa \pm \epsilona±ϵ 对应到数轴上，则有

显然，数列 {xn}\{x_n\}{xn} 收敛于 aaa 有明显的几何意义：

以 aaa 为中心的线段不论有多么短（其长为 2ϵ2\epsilon2ϵ），从某一项开始的一切 xnx_nxn 全部落在该线段内（如此一来，线段外必定只有数列 {xn}\{x_n\}{xn} 中的有限多个点）。

方式二

既然数列可看作正整数集 N+\mathbb{N}^{+}N+ 到实数集 R\mathbb{R}R 的函数

x=f(n),n∈N+,x=f(n),\quad n \in \mathbb{N}^{+}, x=f(n),n∈N+,

自然可以使用 函数的图像法 对其进行描述。

此时，数列 {xn}\{x_n\}{xn} 收敛于 aaa 有几何意义：

以过点 aaa 的直线为中线的条带不论有多么窄（宽度为 2ϵ2\epsilon2ϵ），从某一项开始的一切 xnx_nxn 全部落在该条带内（如此一来，条带外必定只有数列 {xn}\{x_n\}{xn} 中的有限多个点）。

显然，以上两个分析角度虽然有所不同，但可以得到相近的几何意义。基于这种几何意义，可得数列极限的另一等价定义。

定义 13. 数列极限’：设 {xn}\{x_n\}{xn} 为一数列，若存在某个数 a∈Ra\in \mathbb{R}a∈R，对于任意给定的 ϵ>0\epsilon>0ϵ>0，区间 (a−ϵ,a+ϵ)(a-\epsilon,a+\epsilon)(a−ϵ,a+ϵ) 外至多存在数列 {xn}\{x_n\}{xn} 中的有限多项，则称数列 {xn}\{x_n\}{xn} 收敛于 aaa，aaa 称为 {xn}\{x_n\}{xn} 的极限。

附注：

（1）定义 13 更是明显地反映了数列的敛散性与数列的前有限多项无关的特点。

（2）基于该定义，同样可使用 “ϵ−N\epsilon-Nϵ−N” 语言描述数列的 敛散性。

数列收敛：∃a∈R,∀ϵ>0,∃N∈N+,∀n>N:xn∈U(a;ϵ)\exists ~ a\in \mathbb{R},\forall ~ \epsilon>0,\exists ~ N \in \mathbb{N}^{+},\forall ~ n>N:x_n \in U(a;\epsilon)∃ a∈R,∀ ϵ>0,∃ N∈N+,∀ n>N:xn∈U(a;ϵ)。
数列发散：∀a∈R,∃ϵ0>0,∀N∈N+,∃n>N:xn∉U(a;ϵ0)\forall ~ a\in \mathbb{R},\exists ~ \epsilon_0>0,\forall ~ N \in \mathbb{N}^{+},\exists ~ n>N:x_n \notin U(a;\epsilon_0)∀ a∈R,∃ ϵ0>0,∀ N∈N+,∃ n>N:xn∈/U(a;ϵ0)。

数列的敛散性分析

下面，使用 “ϵ−N\epsilon-Nϵ−N” 语言进一步描述数列的敛散性。

命题 1：数列 {xn}\{x_n\}{xn} 收敛于实数 aaa。

语言描述（定义）：“对于任意给定的 ϵ>0\epsilon>0ϵ>0，存在正整数 NNN，使得当 n>Nn>Nn>N 时，成立 ∣xn−a∣<ϵ|x_n-a|<\epsilon∣xn−a∣<ϵ”。
ϵ−N\epsilon-Nϵ−N 符号表述：

∀ϵ>0,∃N∈N+,∀n>N:∣xn−a∣<ϵ.\forall ~ \epsilon >0,\exists ~ N \in \mathbb{N}^{+},\forall ~ n>N:|x_n-a|<\epsilon. ∀ ϵ>0,∃ N∈N+,∀ n>N:∣xn−a∣<ϵ.

命题 2：数列 {xn}\{x_n\}{xn} 不收敛于 aaa。

语言描述：定义的否定形式。根据量词取反的 对偶法则 ，有

“存在 ϵ0>0\epsilon_0>0ϵ0>0 ，使得对于任意的正整数 NNN，存在 n>Nn>Nn>N，成立 ∣xn−a∣>ϵ0|x_n-a|>\epsilon_0∣xn−a∣>ϵ0”。

ϵ−N\epsilon-Nϵ−N 符号表述：

∃ϵ0>0,∀N∈N+,∃n>N:∣xn−a∣≥ϵ0.\exists ~ \epsilon_0>0,\forall ~ N \in \mathbb{N}^{+},\exists ~ n>N:|x_n-a|\ge \epsilon_0. ∃ ϵ0>0,∀ N∈N+,∃ n>N:∣xn−a∣≥ϵ0.

命题 3：数列 {xn}\{x_n\}{xn} 收敛。

语言描述（定义）：“存在一个实数 aaa，对于任意给定的 ϵ>0\epsilon>0ϵ>0，存在正整数 NNN，使得当 n>Nn>Nn>N 时，成立 ∣xn−a∣<ϵ|x_n-a|<\epsilon∣xn−a∣<ϵ”。
ϵ−N\epsilon-Nϵ−N 符号表述：

∃a∈R,∀ϵ>0,∃N∈N+,∀n>N:∣xn−a∣<ϵ.\exists ~ a\in \mathbb{R},\forall ~ \epsilon >0,\exists ~ N \in \mathbb{N}^{+},\forall ~ n>N:|x_n-a|<\epsilon. ∃ a∈R,∀ ϵ>0,∃ N∈N+,∀ n>N:∣xn−a∣<ϵ.

命题 4：数列 {xn}\{x_n\}{xn} 发散。

语言描述：命题 3 的否定形式。根据量词取反的 对偶法则 ，有 “存在 ϵ0>0\epsilon_0>0ϵ0>0 ，使得对于任意的正整数 NNN，存在 n>Nn>Nn>N，成立 ∣xn−a∣>ϵ0|x_n-a|>\epsilon_0∣xn−a∣>ϵ0”。
ϵ−N\epsilon-Nϵ−N 符号表述：

∀a∈R,∃ϵ0>0,∀N∈N+,∃n>N:∣xn−a∣≥ϵ0.\forall ~ a \in \mathbb{R},\exists ~ \epsilon_0>0,\forall ~ N \in \mathbb{N}^{+},\exists ~ n>N:|x_n-a|\ge \epsilon_0. ∀ a∈R,∃ ϵ0>0,∀ N∈N+,∃ n>N:∣xn−a∣≥ϵ0.

参考文献

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根据前面介绍的内容,具体推理数列以及函数的极限推理过程,在实际应用中极限的两大准则使用还是比较广泛的,大家需要多多关注. 极限存在准则和两个重要极限准则 I (夹逼准则): 如果数列 {xn},{y ...
Fibonacci数列（数列取模）
问题描述 Fibonacci数列的递推公式为:Fn=Fn-1+Fn-2,其中F1=F2=1. 当n比较大时,Fn也非常大,现在我们想知道,Fn除以10007的余数是多少. 输入格式输入包含一个整数n ...
OJ1055: 兔子繁殖问题（C语言计算斐波那契数列/“兔子数列”）
题目描述这是一个有趣的古典数学问题,著名意大利数学家Fibonacci曾提出一个问题:有一对小兔子,从出生后第3个月起每个月都生一对兔子.小兔子长到第3个月后每个月又生一对兔子.按此规律,假设没有兔 ...

数列极限：数列极限的概念