自底向上的归并排序算法

归并排序算法分为自顶向下和自底向上实现的，自顶向下实现归并排序就是用二分法将一个完整的数组逐级划分，然后逐级归并，一般采用递归算法实现，正如之前给出的归并排序算法；而自底向上的归并排序就是将数组中的每个元素看成是一个个有序子序列，然后两两归并，形成新的有序序列，接着再两两归并，直到得到一个完整的有序序列为止，如下图所示：

自底向上的归并排序算法只需要用循环迭代就可以实现，具体C++实现代码如下：

SortTestHelper.h文件（辅助函数）：

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <ctime>  //clock()、CLOCKS_PER_SEC
#include <cassert>  //包含函数assert()using namespace std;namespace SortTestHelper
{//辅助函数 - 随机产生一个数组int* generateRandomArray(int n, int RangeL, int RangeR)  //返回数组首地址{//判断RangeL是否<=RangeRassert(RangeL <= RangeR);  //参数为表达式，表达式为真时返回true，否则打印错误信息int *arr = new int[n];srand(time(0));for(int i = 0; i < n ; i++){arr[i] = rand() % (RangeR - RangeL + 1) + RangeL;  //使得产生的随机数在RangeL和RangeR之间}return arr;}//辅助函数 - 产生一个近乎有序的随机数组int* generateNearlyOrderedArray(int n, int swapTime){int *arr = new int[n];for(int i = 0; i < n; i++){arr[i] = i;  //先生成一个完全有序的数组}//然后交换几组元素，使之变成无序但近乎有序的数组srand(time(0));for(int j = 0; j < swapTime; j++){//随机生成一个x位置和y位置int posx = rand() % n;int posy = rand() % n;//交换x和y处的元素swap(arr[posx], arr[posy]);}return arr;}//辅助数组 - 产生一个完全有序数组int* generateTotallyOrderedArray(int n){int *arr = new int[n];for(int i = 0; i < n; i++){arr[i] = i;}return arr;}//辅助函数 - 打印数组template<typename T>void printArray(T arr[], int n){for(int i = 0; i < n; i++){cout << arr[i] << " ";}cout << endl;}//辅助函数 - 判断数组是否有序（升序）template<typename T>bool isSorted(T arr[], int n){for(int i = 0; i < n - 1; i++){if(arr[i] > arr[i + 1]){return false;}}return true;}//辅助函数 - 测试算法的时间template<typename T>void testSort(string sortname, void(*sort)(T[], int), T arr[], int n)  //arr[]和n是函数指针需要的参数{clock_t starttime = clock();sort(arr, n);  //调用函数sort()clock_t endtime = clock();//判断排序是否成功assert(isSorted(arr, n));  //若是数组无序，则assert会自动调用abort()退出程序，不会执行下面的语句cout << sortname << " needs " << double(endtime - starttime) / CLOCKS_PER_SEC << "s." << endl;}//辅助函数 - 拷贝数组int* copyIntArray(int a[], int n){int *arr = new int[n];//使用C++函数copy()copy(a, a + n, arr);return arr;}
}

main.cpp文件：

#include<iostream>
#include "SortTestHelper.h"
//自底向上的归并排序算法
template<typename T>
void mergeSortBU(T arr[], int n)
{for(int sz = 1; sz <= n; sz += sz){for(int i = 0; i < n; i += sz + sz){//将arr[i...i+sz-1]和arr[i+sz...i+sz+sz-1]进行归并if(i + sz + sz - 1 < n)  //则i+sz-1和i+sz+sz-1都没有越界{__merge(arr, i, i + sz - 1, i + sz + sz -1);}else if(i + sz - 1 < n){__merge(arr, i, i + sz - 1, n - 1);}else{break;}}}
}int main()
{int n = 500000;int *arr = SortTestHelper::generateRandomArray(n, 0, n);SortTestHelper::testSort("mergeSortBU", mergeSortBU, arr, n);delete[] arr;return 0;
}

在main.cpp文件中，自底向上的递归算法中，在调用__merge(arr, i, i+sz-1, i+2*sz-1) 将arr[i...i+sz-1]和arr[i+sz...i+2*sz-1]进行归并时，需要考虑数组下标出界的问题，有2个下标需要考虑出界：i+sz-1和i+2*sz-1，可以加上述归并算法简化如下：

//自底向上的归并排序算法
template<typename T>
void mergeSortBU(T arr[], int n)
{for(int sz = 1; sz <= n; sz += sz){for(int i = 0; i + sz < n; i += sz + sz){__merge(arr, i, i + sz - 1, min(i + 2 * sz - 1, n - 1));}}
}

即当mid = i + sz - 1未出界时，调用__merge()函数进行归并，若mid出界，则跳出内层循环，进入下一趟归并。

可以测试自顶向下的归并算法和自底向上的归并算法的时间性能，发现两者相差不大，但是从自底向上的归并排序代码中可以看出，无需使用数组下标访问数组中的元素，这保证了自底向上的归并排序算法可以很好的使用时间复杂度为O(nlogn)对链表进行排序（因为数组可以通过中括号和下标随机访问数组元素，时间复杂度为O(1)，这不会影响整个排序的时间复杂度，但是单链表不能通过这种方式随机访问单个元素，其访问元素的时间复杂度为O(n)，由于自底向上的归并算法中没有涉及到访问单个元素，因此对于链表也能很好的实现时间复杂度为O(nlogn)的归并排序）。

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