概率论的基本概念

样本空间和随机事件

样本空间

随机试验的所有可能结果构成的集合成为样本空间, 记为S={e},

S中的e作为样本点

例1:

一枚硬币抛一次

S = {正面, 反面}

记录一批产品的寿命x:

S = {x : x>=0}

记录某地一昼夜最高温度x,最低温度y

S = {(x,y) : a<=y<=x<=b}

随机事件

样本空间S的子集A成为随机事件A, 简称事件A, 当前仅当A中的某个样本点发生时称事件A发生

事件A的表示可以用集合, 也可以用语言表达

如果把S看做事件, 则每次试验S总是发生, 称S为必然事件
基本事件: 事件只含有一个样本
空集: 不包含任何样本点, 记为 ∅ \varnothing ∅, 则每次试验 ∅ \varnothing ∅都不发生, 成 ∅ \varnothing ∅为不可能事件

事件的关系(包含,相等)

A ⊂ \subset ⊂B: 事件A发生一定导致事件B发生(因为A是B的子集)
A = B $\Leftrightarrow $ A ⊂ \subset ⊂B 且 B ⊂ \subset ⊂A

事件的运算及关系

和事件, 记为A ∪ \cup ∪B

A ∪ \cup ∪B = {x | x ∈ \in ∈A 或 x ∈ \in ∈B}, A与B至少有一个发生
积事件,记为A ∩ \cap ∩B, A ⋅ \cdot ⋅B,AB

A ∩ \cap ∩B = {x | x ∈ \in ∈A 且 x ∈ \in ∈B}, A与B同时发生

⋃ i = 1 n A i \bigcup_{i=1}^{n}A_{i} ⋃i=1nAi 表示 A 1 A_{1} A1, A 2 A_{2} A2,…, A n A_{n} An至少有一个发生

⋂ i = 1 n A i \bigcap_{i=1}^{n}A_{i} ⋂i=1nAi 表示 A 1 A_{1} A1, A 2 A_{2} A2,…, A n A_{n} An同时发生

不相容(互斥): AB= ∅ \varnothing ∅
差事件: A - B = {x | x ∈ \in ∈A 且 x ∉ \notin ∈/B}
A的逆事件,记为 A ‾ \overline{A} A, 也称A的互逆, 对立事件

A ∪ \cup ∪ A ‾ \overline{A} A=S, A A ‾ \overline{A} A= ∅ \varnothing ∅, A ‾ ‾ \overline{\overline{A}} A = A

A与B的差事件可以表示为:

A-B = A B ‾ \overline{B} B = A ∪ \cup ∪B-B = A-AB

运算法则

交换律: A ∪ \cup ∪B = B ∪ \cup ∪A, A ∩ \cap ∩B = B ∩ \cap ∩A
结合律: A ∪ \cup ∪(B ∪ \cup ∪C) = (A ∪ \cup ∪B) ∪ \cup ∪C, A ∩ \cap ∩(B ∩ \cap ∩C) = (A ∩ \cap ∩B) ∩ \cap ∩C
分配率: A ∪ \cup ∪(B ∩ \cap ∩C) = (A ∪ \cup ∪B) ∩ \cap ∩ (A ∪ \cup ∪C), A ∩ \cap ∩(B ∪ \cup ∪C) = (A ∩ \cap ∩B) ∪ \cup ∪ (A ∩ \cap ∩C)
对偶律(德*摩根定律): A ∪ B ‾ \overline{A \cup B} A∪B = A ‾ \overline{A} A ∩ \cap ∩ B ‾ \overline{B} B, A ∩ B ‾ \overline{A \cap B} A∩B = A ‾ \overline{A} A ∪ \cup ∪ B ‾ \overline{B} B

对偶律推广: ⋂ i = 1 n A i \bigcap_{i=1}^{n}A_{i} ⋂i=1nAi= ⋃ i = 1 n A i ‾ \bigcup_{i=1}^{n}\overline{A_i} ⋃i=1nAi= A 1 ‾ ∪ A 2 ‾ ⋯ ∪ A n ‾ \overline{A_1}\cup\overline{A_2}\cdots\cup\overline{A_n} A1∪A2⋯∪An;

⋃ i = 1 n A i \bigcup_{i=1}^{n}A_{i} ⋃i=1nAi= ⋂ i = 1 n A i ‾ \bigcap_{i=1}^{n}\overline{A_i} ⋂i=1nAi= A 1 ‾ ∩ A 2 ‾ ⋯ ∩ A n ‾ \overline{A_1}\cap\overline{A_2}\cdots\cap\overline{A_n} A1∩A2⋯∩An = A 1 ‾ A 2 ‾ ⋯ A n ‾ \overline{A_1}\overline{A_2}\cdots\overline{A_n} A1A2⋯An

频率和概率

频率

def: f n ( A ) = n A n f_n(A) = \frac{n_A}{n} fn(A)=nnA; 其中 n A n_A nA是A发生的次数(频数), n是总试验次数. 称$f_n(A) $为A在这n次试验中发生的频率.

频率的性质:

0 ⩽ f n ( A ) ⩽ 1 0 \leqslant f_n(A) \leqslant 1 0⩽fn(A)⩽1
f n ( S ) = 1 f_n(S) = 1 fn(S)=1
设 A 1 , A 2 , ⋯ , A k A_1, A_2, \cdots, A_k A1,A2,⋯,Ak两两互不相容, 则 f n ( ⋃ i = 1 k A i ) = ∑ i = 1 k f n ( A i ) f_n(\bigcup_{i=1}^{k}A_{i}) = \sum_{i=1}^{k}f_n(A_i) fn(⋃i=1kAi)=∑i=1kfn(Ai)
f n ( A ) f_n(A) fn(A)随n的增大渐趋稳定, 稳定值为p.

概率

定义

统计性定义

当试验的次数增加时, 随机时间A发生的频率的稳定值p成为概率, 记为P(A) = p.

公理化定义

设随机试验对应的样本空间为S, 对每个时间A定义P(A),满足

非负性: P ( A ) ≥ 0 P(A) \geq 0 P(A)≥0;
规范性: P(S) = 1;
可列可加性: A 1 , A 2 , ⋯ A_1, A_2,\cdots A1,A2,⋯两两互斥,即 A i A j = ∅ , i ≠ j A_iA_j=\varnothing, i \neq j AiAj=∅,i=j, 称 P ( ⋃ i = 1 ∞ A i ) = ∑ i = 1 ∞ P ( A i ) P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i) = \sum_{i=1}^{\infty}P(A_i) P(⋃i=1∞Ai)=∑i=1∞P(Ai)

称P(A)为事件A的概率.

性质

P( ∅ \varnothing ∅) = 0
P ( A ) = 1 − P ( A ‾ ) P(A) = 1- P(\overline{A}) P(A)=1−P(A)
有限可加性: A 1 , A 2 , ⋯ , A n , A I A j = ∅ , i ≠ j ⇒ P ( ⋃ i = 1 n A i ) = ∑ i = 1 n P ( A i ) A_1,A_2,\cdots,A_n, A_IA_j = \varnothing, i \neq j \Rightarrow P(\bigcup_{i=1}^{n}A_i) = \sum_{i=1}^{n}P(A_i) A1,A2,⋯,An,AIAj=∅,i=j⇒P(⋃i=1nAi)=∑i=1nP(Ai)
若 A ⊂ B A\subset B A⊂B, 则有P(B-A) = P(B) -P(A)
概率的加法公式: P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( A B ) P(A \cup B) = P(A) + P(B) + P(AB) P(A∪B)=P(A)+P(B)+P(AB)

#5的推广1:

P ( A ∪ B ∪ C ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) − P ( A B ) − P ( A C ) − P ( B C ) + P ( A B C ) P(A \cup B \cup C) = P(A) +P(B) +P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) +P(ABC) P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(AC)−P(BC)+P(ABC)

#5的推广2(一般情形):

P ( ⋃ i = 1 n A i ) = ∑ i = 1 n P ( A i ) − ∑ 1 ≤ i < j ≤ n P ( A i A j ) + ∑ 1 ≤ i < j < k ≤ n P ( A i A j A k ) + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 P ( A 1 A 2 ⋯ A n ) P(\bigcup_{i=1}^{n}A_i) = \sum_{i=1}^{n}P(A_i) - \sum_{1\leq i < j \leq n}P(A_iA_j) + \sum_{1 \leq i < j < k \leq n}P(A_iA_jA_k) + \cdots + (-1)^{n-1}P(A_1A_2 \cdots A_n) P(⋃i=1nAi)=∑i=1nP(Ai)−∑1≤i<j≤nP(AiAj)+∑1≤i<j<k≤nP(AiAjAk)+⋯+(−1)n−1P(A1A2⋯An)

等可能概型(古典概型)

若试验满足:

样本空间S中样本点有限(有限性)

出现每一个样本点的概率相等(等可能性)

称这种试验为等可能概型(或古典概型)

P ( A ) = A 中包含的样本点数 S 中的样本点数 P(A) = \frac {A中包含的样本点数} {S中的样本点数} P(A)=S中的样本点数A中包含的样本点数

例子: n次抽奖, 不论先后, 概率都是一样的

条件概率

定义

P ( B ∣ A ) = P ( A B ) P ( A ) , P ( A ) ≠ 0 P(B | A) = \frac {P(AB)} {P(A)}, P(A) \neq 0 P(B∣A)=P(A)P(AB),P(A)=0

性质:

非负性: P ( B ∣ A ) ≥ 0 P(B|A) \geq 0 P(B∣A)≥0
规范性: P ( S ∣ A ) = 1 P(S|A) = 1 P(S∣A)=1
可列可加性: B 1 , B 2 , ⋯ , B i B j = ∅ , i ≠ j , 则 P ( ⋃ i = 1 ∞ B i ∣ A ) = ∑ i = 1 ∞ P ( B i ∣ A ) B_1,B_2,\cdots, B_iB_j = \varnothing, i \neq j, 则 P(\bigcup_{i=1}^{\infty}B_i | A) = \sum_{i=1}^{\infty}P(B_i | A) B1,B2,⋯,BiBj=∅,i=j,则P(⋃i=1∞Bi∣A)=∑i=1∞P(Bi∣A)
具有概率的所有性质

P ( B ∣ A ) = 1 − P ( B ‾ ∣ A ) P(B | A) = 1 - P(\overline{B} | A) P(B∣A)=1−P(B∣A)

P ( B ∪ C ∣ A ) = P ( B ∣ A ) + P ( C ∣ A ) − P ( B C ∣ A ) P(B \cup C | A) = P(B | A) + P(C | A) - P(BC | A) P(B∪C∣A)=P(B∣A)+P(C∣A)−P(BC∣A)

B ⊃ C ⇒ P ( B ∣ A ) ≥ P ( C ∣ A ) B \supset C \Rightarrow P(B | A) \geq P(C | A) B⊃C⇒P(B∣A)≥P(C∣A)

乘法公式

当下面的条件概率都有意义时:

P ( A B ) = P ( A ) ⋅ P ( B ∣ A ) = P ( B ) ⋅ P ( A ∣ B ) P(AB) = P(A) \cdot P(B | A) = P(B) \cdot P(A | B) P(AB)=P(A)⋅P(B∣A)=P(B)⋅P(A∣B)

P ( A B C ) = P ( A ) ⋅ P ( B ∣ A ) ⋅ P ( C ∣ A B ) P(ABC) = P(A) \cdot P(B | A) \cdot P(C | AB) P(ABC)=P(A)⋅P(B∣A)⋅P(C∣AB)

P ( A i A j ⋯ A n ) = P ( A 1 ) ⋅ P ( A 2 ∣ A 1 ) ⋅ P ( A 3 ∣ A 1 A 2 ) ⋯ P ( A n ∣ A 1 ⋯ A n − 1 ) P(A_iA_j \cdots A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3 | A_1A_2) \cdots P(A_n | A_1 \cdots A_{n-1}) P(AiAj⋯An)=P(A1)⋅P(A2∣A1)⋅P(A3∣A1A2)⋯P(An∣A1⋯An−1)

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