卡方分布上侧α分位数的近似公式及其证明

命题: 当 n > 45 n>45 n>45 时有 χ α 2 ( n ) ≈ 1 2 ( u α + 2 n − 1 ) 2 \chi^2_{\alpha}(n)\approx \frac 12(u_\alpha+\sqrt{2n-1})^2 χα2(n)≈21(uα+2n−1 )2, 其中 χ α 2 ( n ) \chi^2_\alpha(n) χα2(n) 和 u α u_\alpha uα 分别为 χ 2 ( n ) \chi^2(n) χ2(n) 和 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1) 的上侧 α \alpha α 分位数.

引理1: Γ ( s + 1 ) = s Γ ( s ) \Gamma(s+1)=s\Gamma(s) Γ(s+1)=sΓ(s).

p r o o f proof proof: L H S = ∫ 0 ∞ x s e − x d x = − ∫ 0 ∞ x s d ( e − x ) = − x s e − x ∣ 0 ∞ + s ∫ 0 ∞ x s − 1 e − x d x = R H S . LHS=\displaystyle{\int}_0^\infty x^se^{-x}dx=-\displaystyle{\int}_0^\infty x^sd(e^{-x})=-x^se^{-x}\mid_0^\infty+s\displaystyle{\int}_0^\infty x^{s-1}e^{-x}dx=RHS. LHS=∫0∞xse−xdx=−∫0∞xsd(e−x)=−xse−x∣0∞+s∫0∞xs−1e−xdx=RHS.

引理2: ln ⁡ Γ ( s ) \ln\Gamma(s) lnΓ(s) 严格上凸.

p r o o f proof proof: ∀ λ ∈ ( 0 , 1 ) \forall \lambda\in(0,1) ∀λ∈(0,1), 有
Γ ( λ x + ( 1 − λ ) y ) = ∫ 0 ∞ t λ x + ( 1 − λ ) y − 1 e − t d t = ∫ 0 ∞ [ t x − 1 e − t ] λ [ t y − 1 e − t ] 1 − λ d t ≤ H o l d e r [ ∫ 0 ∞ t x − 1 e − t d t ] λ [ ∫ 0 ∞ t y − 1 e − t d t ] 1 − λ = Γ λ ( x ) Γ 1 − λ ( y ) \begin{split}\Gamma(\lambda x+(1-\lambda)y)&=\displaystyle{\int}_0^\infty t^{\lambda x+(1-\lambda)y-1}e^{-t}dt\\ &=\displaystyle{\int}_0^\infty[t^{x-1}e^{-t}]^\lambda[t^{y-1}e^{-t}]^{1-\lambda}dt\\ &\overset{Holder}{\le}\left[\displaystyle{\int}_0^\infty t^{x-1}e^{-t}dt\right]^\lambda\left[\displaystyle{\int}_0^\infty t^{y-1}e^{-t}dt\right]^{1-\lambda}\\ &=\Gamma^\lambda(x)\Gamma^{1-\lambda}(y)\end{split} Γ(λx+(1−λ)y)=∫0∞tλx+(1−λ)y−1e−tdt=∫0∞[tx−1e−t]λ[ty−1e−t]1−λdt≤Holder[∫0∞tx−1e−tdt]λ[∫0∞ty−1e−tdt]1−λ=Γλ(x)Γ1−λ(y) 由Holder不等式取等条件可知不等号严格成立, 进一步对不等式两边取对数即可知
ln ⁡ Γ ( λ x + ( 1 − λ ) y ) < λ ln ⁡ Γ ( x ) + ( 1 − λ ) ln ⁡ Γ ( y ) \ln\Gamma(\lambda x+(1-\lambda)y)< \lambda\ln\Gamma(x)+(1-\lambda)\ln\Gamma(y) lnΓ(λx+(1−λ)y)<λlnΓ(x)+(1−λ)lnΓ(y)

Holder不等式及其证明详见 Holder不等式（赫尔德不等式）

引理3: lim ⁡ x → + ∞ Γ ( x + s ) ( x + δ ) s Γ ( x ) = 1 , ∀ δ ∈ ( − 1 , 1 ) \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\Gamma(x+s)}{(x+\delta)^s\Gamma(x)}=1, \forall \delta\in(-1,1) x→+∞lim(x+δ)sΓ(x)Γ(x+s)=1,∀δ∈(−1,1).

p r o o f proof proof: 由引理1, 仅需考虑 s ∈ ( 0 , 1 ] s\in(0,1] s∈(0,1]的情况, 则由引理2可知
Γ ( x + s ) = Γ ( ( 1 − s ) x + s ( x + 1 ) ) ≤ Γ 1 − s ( x ) Γ s ( x + 1 ) = x s Γ ( x ) \Gamma(x+s)=\Gamma((1-s)x+s(x+1))\le \Gamma^{1-s}(x)\Gamma^{s}(x+1)=x^s\Gamma(x) Γ(x+s)=Γ((1−s)x+s(x+1))≤Γ1−s(x)Γs(x+1)=xsΓ(x) 可知 Γ ( x + s ) ( x + δ ) s Γ ( x ) ≤ ( x s + δ ) s → 1 , x → ∞ \dfrac{\Gamma(x+s)}{(x+\delta)^s\Gamma(x)}\le \left(\dfrac{x}{s+\delta}\right)^s\rightarrow 1,\text{ }x\rightarrow\infty (x+δ)sΓ(x)Γ(x+s)≤(s+δx)s→1, x→∞, 同理有
x Γ ( x ) = Γ ( x + 1 ) = Γ ( s ( x + s ) + ( 1 − s ) ( x + s + 1 ) ) ≤ Γ s ( x + s ) Γ 1 − s ( x + s + 1 ) = ( x + s ) 1 − s Γ ( x + s ) \begin{split}x\Gamma(x)&=\Gamma(x+1)=\Gamma(s(x+s)+(1-s)(x+s+1))\\ &\le \Gamma^s(x+s)\Gamma^{1-s}(x+s+1)=(x+s)^{1-s}\Gamma(x+s)\end{split} xΓ(x)=Γ(x+1)=Γ(s(x+s)+(1−s)(x+s+1))≤Γs(x+s)Γ1−s(x+s+1)=(x+s)1−sΓ(x+s) 可知 Γ ( x + s ) ( x + δ ) s Γ ( x ) ≥ ( x x + δ ) s ⋅ ( x x + s ) 1 − s → 1 , x → ∞ \dfrac{\Gamma(x+s)}{(x+\delta)^s\Gamma(x)}\ge \left(\dfrac{x}{x+\delta}\right)^s\cdot\left(\dfrac{x}{x+s}\right)^{1-s}\rightarrow 1,\text{ }x\rightarrow\infty (x+δ)sΓ(x)Γ(x+s)≥(x+δx)s⋅(x+sx)1−s→1, x→∞. 由夹逼原理即可知引理3成立.

下面我们回到原命题的证明,

P r o o f Proof Proof: 设 X ∼ χ 2 ( n ) X\sim \chi^2(n) X∼χ2(n), 则 X X X 的概率密度函数为 p ( x ) = 1 2 n / 2 Γ ( n / 2 ) x n 2 − 1 e − x 2 , x > 0 p(x)=\dfrac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)}x^{\frac n2-1}e^{-\frac x2},\text{ }x>0 p(x)=2n/2Γ(n/2)1x2n−1e−2x, x>0
其中 Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ x z − 1 e − x d x \Gamma(z)=\displaystyle{\int}_0^\infty x^{z-1}e^{-x}dx Γ(z)=∫0∞xz−1e−xdx, 考虑 Y = 2 X Y=\sqrt{2X} Y=2X , 则 Y Y Y 的概率密度函数为 q ( y ) = p ( y 2 2 ) y = 1 Γ ( n 2 ) ( y 2 ) n − 1 e − ( y 2 ) 2 , y > 0 q(y)=p\left(\frac{y^2}{2}\right)y=\frac{1}{\Gamma(\frac n2)}\left(\frac{y}{2}\right)^{n-1}e^{-(\frac y2)^2},\text{ }y>0 q(y)=p(2y2)y=Γ(2n)1(2y)n−1e−(2y)2, y>0 则
E ⁡ Y = ∫ 0 ∞ y q ( y ) d y = ∫ 0 ∞ y Γ ( n 2 ) ( y 2 ) n − 1 e − ( y 2 ) 2 d y = t = ( y 2 ) 2 2 Γ ( n 2 ) ∫ 0 ∞ t n − 1 2 e − t d t = 2 Γ ( n + 1 2 ) Γ ( n 2 ) → 引理 3 取 δ = − 1 4 2 ( n 2 − 1 4 ) 1 2 = 2 n − 1 , a . s . n → ∞ \begin{split}\operatorname{E}Y&=\int_0^\infty yq(y)dy\\ &=\int_0^\infty\frac{y}{\Gamma(\frac n2)}\left(\frac{y}{2}\right)^{n-1}e^{-(\frac y2)^2}dy\\ &\overset{t=(\frac{y}{2})^2}{=}\frac{2}{\Gamma(\frac n2)}\int_0^\infty t^{\frac{n-1}{2}}e^{-t}dt\\ &=\frac{2\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\Gamma(\frac n2)}\\ &\underset{取\delta=-\frac 14}{\overset{引理3}{\rightarrow}}2(\frac n2-\frac 14)^{\frac 12}=\sqrt{2n-1},\text{ }a.s.\text{ }n\rightarrow\infty\end{split} EY=∫0∞yq(y)dy=∫0∞Γ(2n)y(2y)n−1e−(2y)2dy=t=(2y)2Γ(2n)2∫0∞t2n−1e−tdt=Γ(2n)2Γ(2n+1)取δ=−41→引理32(2n−41)21=2n−1 , a.s. n→∞ 同理
E ⁡ Y 2 = 4 Γ ( n 2 + 1 ) Γ ( n 2 ) = 2 n \operatorname{E}Y^2=\dfrac{4\Gamma(\frac n2+1)}{\Gamma(\frac n2)}=2n EY2=Γ(2n)4Γ(2n+1)=2n 则 Var ⁡ Y = E ⁡ Y 2 − ( E ⁡ Y ) 2 = 1 \operatorname{Var}Y=\operatorname{E}Y^2-(\operatorname{E}Y)^2=1 VarY=EY2−(EY)2=1. 由 Lindeberg-Levy CLT可知
Y − 2 n − 1 1 → d N ( 0 , 1 ) , a . s . n → ∞ \frac{Y-\sqrt{2n-1}}{1}\overset{d}{\rightarrow}N(0,1),\text{ }a.s.\text{ }n\rightarrow \infty 1Y−2n−1 →dN(0,1), a.s. n→∞ 即有
2 χ 2 ( α ) − 2 n − 1 1 ≈ u α , a . s . n → ∞ ( 一般为 n > 45 ) \frac{\sqrt{2\chi^2(\alpha)}-\sqrt{2n-1}}{1}\approx u_\alpha,\text{ }a.s.\text{ }n\rightarrow \infty(一般为n>45) 12χ2(α) −2n−1 ≈uα, a.s. n→∞(一般为n>45)
可知 n n n 较大时有 χ α 2 ( n ) ≈ 1 2 ( u α + 2 n − 1 ) 2 \chi^2_{\alpha}(n)\approx \frac 12(u_\alpha+\sqrt{2n-1})^2 χα2(n)≈21(uα+2n−1 )2, 证毕!

证明过程全为本人所写，大家若对上述证明过程有疑问或者发现纰漏欢迎在评论区指正！

卡方分布上侧α分位数的近似公式及其证明相关推荐

分位数、上侧分位数及python实现
分位数定义:设随机变量X的分布函数为F(x),对任意给定的实数 p ,(0<p<1),若存在 x p x_p xp 使得 P{ X ≤ X\leq X≤ x p x_p xp } = ...
UA MATH564 概率论VI 数理统计基础3 卡方分布上
UA MATH564 概率论VI 数理统计基础3 卡方分布上卡方分布卡方分布的分布函数中心化卡方分布一般的卡方分布卡方分布这里给出卡方分布的一般性定义.假设X1,⋯,XnX_1,\cdot ...
仿京东首页上侧导航左侧地址栏布局（1）
观察上图不难发现,送至北京(上方div) 这部分的边框情况是,上侧无边框,左右有边框,而下侧则不知道. 鼠标指向后下方div(下方div)出现,四周都有边框,除了与上方送至北京交接处,此时出现一个拐角 ...
苹果隐私部门负责人：在iPhone上侧载应用会减少用户选择
6月24日消息,据国外媒体报道,苹果隐私主管Erik Neuenschwander在一次新的采访中谈到了公司在iPhone上侧载应用的立场,并表示这实际上减少了用户的选择. 所谓"侧载&qu ...
感觉到大腿内的肌肉出血，应该用绳子包扎肌肉上侧还是下侧？
如果感觉到大腿内的肌肉出血,应该用绳子包扎肌肉的上侧.这样可以最大程度地阻止出血.同时,如果有疼痛或其他不适感觉,应立即就医.
计算Dataframe指定位置上的分位数：df.quantile()
[小白从小学Python.C.Java] [Python-计算机等级考试二级] [Python-数据分析] 计算Dataframe指定位置上的分位数 df.quantile() 选择题关于以下代码说 ...
小时候我常常纠结，北大和清华到底上哪个好？后来事实证明，我想的有点多……...
小时候我常常纠结,北大和清华到底上哪个好?后来事实证明,我想的有点多-- 转载于:https://www.cnblogs.com/madinglin/p/10881064.html
如何证明服从卡方分布_概率论中的谁会证明(n-1)s^2/σ^2服从卡方分布
展开全部根据卡方62616964757a686964616fe59b9ee7ad9431333366306537分布性质可得: (均值用X* 表示,且可知X*=(∑Xi)/n) Xi服从正态分布 N ...
概率论考点总结类型27 上侧α分位点

卡方分布上侧α分位数的近似公式及其证明

卡方分布上侧α分位数的近似公式及其证明相关推荐

最新文章

热门文章