有关卡方检验（chi-square test ）

1. 什么是卡方检验

卡方检验是用途非常广的一种假设检验方法，它在分类资料统计推断中的应用，包括：两个率或两个构成比比较的卡方检验；多个率或多个构成比比较的卡方检验以及分类资料的相关分析等。

在大数据运营场景中，通常用在某个变量(或特征)值是不是和因变量有显著关系。

通俗来讲：卡方检验就是检验两个变量之间有没有关系

举两个例子：

卡方检验可以检验男性或者女性对线上买生鲜食品有没有区别；
不同城市级别的消费者对买SUV车有没有什么区别；不同城市级别的消费者对买SUV车有没有什么区别；

2. 卡方检验基本原理

卡方检验就是统计样本的实际观测值与理论推断值之间的偏离程度。
实际观测值与理论推断值之间的偏离程度就决定卡方值的大小，如果卡方值越大，二者偏差程度越大；反之，二者偏差越小；若两个值完全相等时，卡方值就为0，表明理论值完全符合。

注意： 卡方检验针对分类变量。

3. 卡方检验实例

问题1： 投硬币不知道这个硬币是不是均衡的，我想用正面，反面的频次来判断，我投了50次，其中28个正面，22个反面。我怎么用卡方检验来证明这个硬币是均衡的还是不均衡的呢？
通过卡方检验来拿观察到的现象(投正面或反面的次数或者频数)，来判断这个结果(硬币是不是均衡的)。
引入公式：

这个公式可以帮我们求出卡方检验的值，我们用

这个公式求得的值
自由度
置信度

其中，自由度我们可以求出来，置信度的话，我们按照我们自己意愿挑选，一般我们会挑90％或者95%。

我们拿到这3个信息，去查表，因为0.72小于查表得到的3.841，所以我们得出这个硬币是均衡的结论。

问题2： 电商中消费者的性别和购买生鲜（独立性检验）
我们要观察性别和在线上买不买生鲜食品有没有关系，现实生活中，女性通常去菜市场买菜的比较多，那么在线上是不是也这样。

我们得出观察到数据，并且形成表格后，我们需要计算理论的数据，在上面的例子我们发现，我们发现有66%的人不在线上买生鲜（599除以907），34%的人会在线上买。那如果，男的有733个人，女的有174个人，根据这些比例，我们可以得出的理论值是什么呢？

根据理论和实际值，我们可以算出卡方值，自由度，并且结合我们定义的置信度，查表得到性别和线上买生鲜是显著相关的。

问题 3： 两组大白鼠在不同致癌剂（甲乙两组）作用下的发癌率如下表，问两组发癌率有无差别？

其中(52 19 39 3)这四个数据是整个表中的基本资料，其余数据均由此推算出来；这四格资料表就专称四格表（fourfold table），或称2行2列表（2×2 contingency table）。

从该资料算出的两组发癌率分别为73.24%和92.86%，两者的差别可能是抽样误差所致，亦可能是两组发癌率（总体率）确有所不同。

这里可通过卡方检验来区别其差异有无统计学意义，检验的基本公式为：

式中A为实际数，以上四格表的四个数据就是实际数。
T为理论数，是根据检验假设推断出来的；
即假设这两组的发癌率本无不同，差别仅是由抽样误差所致。

这里可将两组合计发癌率作为理论上的发癌率，即91/113=80.3%，以此为依据便可推算出四格表中相应的四格的理论数。以上表资料为例检验如下。

检验步骤：

1.建立检验假设：

H0：π1=π2；H1：π1≠π2；α=0.05
2.计算理论数（TRC），计算公式为：

式中TRC是表示第R行C列格子的理论数，nR为理论数同行的合计数，nC为与理论数同列的合计数，n为总例数。

第1行1列： 71×91/113=57.18

第1行2列： 71×22/113=13.82

第2行1列： 42×91/113=33.82

第2行2列： 42×22/113=8.18

以推算结果，可与原四项实际数并列成下表：

因为上表每行和每列合计数都是固定的，所以只要用TRC式求得其中一项理论数（例如T1.1=57.18），则其余三项理论数都可用同行或同列合计数相减，直接求出。

3.计算卡方值按公式代入

4.查卡方值表求P值
在查表之前应知本题自由度。按卡方检验的自由度v=(行数-1)(列数-1)，则该题的自由度v=(2-1)(2-1)=1，查卡方界值表，找到 x 0.05 2 ( 1 ) = 3.84 x^2_{0.05}(1)=3.84 x0.052(1)=3.84，而本题卡方=6.48，即卡方＞ x 0.05 2 ( 1 ) = 3.84 x^2_{0.05}(1)=3.84 x0.052(1)=3.84，P＜0.05，差异有显著统计学意义，按 α = 0.05 \alpha=0.05 α=0.05水准，拒绝H0，可以认为两组发癌率有差别。

4. 总结

通过实例计算，读者对卡方的基本公式有如下理解：

若各理论数与相应实际数相差越小，卡方值越小；如两者相同，则卡方值必为零，而卡方永远为正值。
又因为每一对理论数和实际数都加入卡方值中，分组越多，即格子数越多，卡方值也会越大，因而每考虑卡方值大小的意义时同时要考虑到格子数。因此自由度大时，卡方的界值也相应增大。