网络流——最大流问题

老师上课讲的网络流问题，牵扯到几个反相弧，增广路径，残量网络的概念，愣是一节课神游没听明白，后来只能自己回家搞。

这篇博文我看了以后觉得十分有帮助就拿来了，比较清楚地介绍了它的基本想法思路。

http://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2011/07/26/2117636.html

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最近又复习了下最大流问题，每次看这部分的内容都会有新的收获。可以说最大流问题的资料网上一搜一大把，根本没有必要自己写；但是大部分资料上的专业术语太多了，初学很难理解，至少我当年学这部分的时候前几次就没有看懂。所以我准备备份一点个人的理解。

图-1

如图-1所示，在这个运输网络中，源点S和汇点T分别是1,7，各边的容量为C(u,v)。图中红色虚线所示就是一个可行流。标准图示法如图-2所示：

其中p(u,v) / c(u,v)分别表示该边的实际流量与最大容量。

关于最大流

熟悉了什么是网络流，最大流也就很好理解了。就是对于任意的u∈V-{s},使得p(s,u)的和达到最大。上面的运输网络中，最大流如图-3所示：MaxFlow=p(1,2)+p(1,3)=2+1=3。

在介绍最大流问题之前，先介绍几个概念：残余网络，增广路径，反向弧，最大流定理以及求最大流的Ford-Fulkerson方法。

残余网络增广路径反向弧

观察下图-4，这种状态下它的残余网络如图-5所示：

也许现在你已经知道什么是残余网络了，对于已经找到一条从S 到T的路径的网络中，只要在这条路径上，把C(u,v)的值更新为C(u,v)-P(u,v)，并且添加反向弧C(v,u)。对应的增广路径Path为残留网络上从S到T的一条简单路径。图-4中1，2，4，7就是一条增广路径，当然还有1，3，4，7。

此外在未做任何操作之前，原始的有向图也是一个残余网络，它仅仅是未做任何更新而已。

最大流定理

如果残留网络上找不到增广路径，则当前流为最大流；反之，如果当前流不为最大流，则一定有增广路径。

Ford-Fulkerson方法

介绍完上面的概念之后，便可以用Ford-Fulkerson方法求最大流了。为什么叫Ford-Fulkerson方法而不是算法，原因在于可以用多种方式实现这一方法，方式并不唯一。下面介绍一种基于广度优先搜索(BFS)来计算增广路径P的算法：Edmonds-Karp算法。

算法流程如下：

设队列Q：存储当前未访问的节点，队首节点出队后，成为已检查的标点；

Path数组：存储当前已访问过的节点的增广路径；

Flow数组：存储一次BFS遍历之后流的可改进量；

Repeat:

Path清空；

源点S进入Path和Q，Path[S]<-0，Flow[S]<-+∞；

While Q非空 and 汇点T未访问 do

Begin

队首顶点u出对；

For每一条从u出发的弧(u,v) do

If v未访问 and 弧(u,v) 的流量可改进；

Then Flow[v]<-min(Flow[u],c[u][v]) and v入队 and Path[v]<-u；

End while

If(汇点T已访问)

Then 从汇点T沿着Path构造残余网络；

Until 汇点T未被访问

1 #include < iostream >
2 #include < queue >
3 using namespace std;
4
5 const int N = 210 ;
6 const int INF = 0x7FFFFFFF ;
7 int n,m,map[N][N],path[N],flow[N],start,end;
8 queue < int > q;
9
10 int bfs(){
11      int i,t;
12      while ( ! q.empty()) q.pop();
13     memset(path, - 1 , sizeof (path));
14     path[start] = 0 ,flow[start] = INF;
15     q.push(start);
16      while ( ! q.empty()){
17         t = q.front();
18         q.pop();
19          if (t == end) break ;
20          for (i = 1 ;i <= m;i ++ ){
21              if (i != start && path[i] ==- 1 && map[t][i]){
22                 flow[i] = flow[t] < map[t][i] ? flow[t]:map[t][i];
23                 q.push(i);
24                 path[i] = t;
25             }
26         }
27     }
28      if (path[end] ==- 1 ) return - 1 ;
29      return flow[m];                    // 一次遍历之后的流量增量
30 }
31 int Edmonds_Karp(){
32      int max_flow = 0 ,step,now,pre;
33      while ((step = bfs()) !=- 1 ){           // 找不到增路径时退出
34         max_flow += step;
35         now = end;
36          while (now != start){
37             pre = path[now];
38             map[pre][now] -= step;       // 更新正向边的实际容量
39             map[now][pre] += step;       // 添加反向边
40             now = pre;
41         }
42     }
43      return max_flow;
44 }
45 int main(){
46      int i,u,v,cost;
47      while (scanf( " %d %d " , & n, & m) != EOF){
48         memset(map, 0 , sizeof (map));
49          for (i = 0 ;i < n;i ++ ){
50             scanf( " %d %d %d " , & u, & v, & cost);
51             map[u][v] += cost;            // not just only one input
52         }
53         start = 1 ,end = m;
54         printf( " %d\n " ,Edmonds_Karp());
55     }
56      return 0 ;
57 }
58

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